对每个实数 $p\in(0,2)$，设抛物线 $C_p:y^2=2px$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $A$，过定点 $B(-1,0)$ 作一直线 $l$ 与抛物线 $C_p$ 切于点 $K$，过点 $A$ 作 $l$ 的平行线，与抛物线 $C_p$ 交于点 $L,M$．试将 $\triangle KLM$ 的面积表示为 $p$ 的函数 $f(p)$（$0<p<2$），并求 $f(p)$ 的最大值．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(10)
【标注】
【答案】
略
【解析】
设直线 $l$ 与 $LM$ 的斜率为 $k$，则直线 $l$，$LM$ 的方程分别为$$x=\frac{1}{k}y-1, x=\frac{1}{k}y-\frac{p}{2}.$$以上两式分别与抛物线 $C_p$ 联立，得$$y^2-\frac{2p}{k}y+2p=0, y^2-\frac{2p}{k}+p^2=0.$$相应的判别式依次记作 $\triangle_1, \triangle_2$，则 $\triangle_1=0$．故$$\triangle_2=\triangle_2-\triangle_1=\left(\left(\frac{2p}{k}\right)^2-4p^2\right)-\left(\left(\frac{2p}{k}\right)^2-4\times 2p\right)=8p-4p^2.$$由于 $l\varparallel LM$，则$$S_{\triangle KLM}=S_{\triangle BLM}=|S_{\triangle BAM}-S_{\triangle BAL}|=\frac{1}{2}|AB||y_M-y_L|,$$而 $|AB|=1-\frac{p}{2}, |y_M-y_L|=\sqrt{\triangle_2}=2\sqrt{2p-p^2}$，故$$f(p)=S_{\triangle KLM}=(1-\frac{p}{2})\sqrt{2p-p^2} (0<p<2).$$由基本 不等式得$$\frac{3}{4}(f(p))^2=\frac{3}{4}(1-\frac{p}{2})^3\cdot 2p=(1-\frac{p}{2})^3\cdot \frac{3}{2}p\leqslant \left(\frac{1}{4}\left(3\left(1-\frac{p}{2}\right)+\frac{3}{2}p\right)\right)^4=\left(\frac{3}{4}\right)^4$$即 $f(p)\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{8}$．等号成立的充分必要条件为 $1-\frac{p}{2}=\frac{3}{2}p>0\Rightarrow p=\frac{1}{2}$．
因此，$f(p)$ 的最大值为 $\frac{3\sqrt{3}}{8}$．
因此，$f(p)$ 的最大值为 $\frac{3\sqrt{3}}{8}$．
答案
解析
备注
