已知实数 $a,b$ 满足 $a+b<0$ 且关于 $x$ 的不等式 $ax^2-2bx+c\geqslant 0$ 恒成立，则 $M=\dfrac{b-a-c}{a+b}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3+2\sqrt 3$
【解析】
根据题意，有\[\begin{cases} a>0,\\
b^2\leqslant ac,\\
a+b<0,\end{cases}\]于是\[M=\dfrac{b-a-c}{a+b}\geqslant \dfrac{ab-a^2-b^2}{a(a+b)},\]令 $t=-(a+b)$，$t>0$，则\[M=\dfrac{a(-t-a)-a^2-(-t-a)^2}{-at}=\dfrac{3a}{t}+\dfrac{t}{a}+3\geqslant 2\sqrt 3+3,\]等号当 $t=\sqrt 3a$ 时取得，因此所求的最小值为 $3+2\sqrt 3$．
b^2\leqslant ac,\\
a+b<0,\end{cases}\]于是\[M=\dfrac{b-a-c}{a+b}\geqslant \dfrac{ab-a^2-b^2}{a(a+b)},\]令 $t=-(a+b)$，$t>0$，则\[M=\dfrac{a(-t-a)-a^2-(-t-a)^2}{-at}=\dfrac{3a}{t}+\dfrac{t}{a}+3\geqslant 2\sqrt 3+3,\]等号当 $t=\sqrt 3a$ 时取得，因此所求的最小值为 $3+2\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
