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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27583 59083fb1060a05000bf291ba 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\in\mathbb R$，求证：$$\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}\geqslant\sqrt{3a^2+(a+b+c)^2},$$并指出等号取得的条件． 2022-04-17 21:36:05
27581 59084986060a050008e622df 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b>0$，求证：$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}\geqslant \dfrac{1}{1+ab}$． 2022-04-17 21:35:05
27563 593f61522da6d20009ed4331 高中 解答题 高中习题 求证：$\left({\rm e}^1+{\rm e}^{-1}\right)\left({\rm e}^2+{\rm e}^{-2}\right)\cdots \left({\rm e}^n+{\rm e}^{-n}\right)>\left({\rm e}^{n+1}+2\right)^{\frac n2}$． 2022-04-17 21:25:05
27537 593f8e2311159e000d416937 高中 解答题 高中习题 已知直线过点 $M(2,1)$ 且与 $x$、$y$ 轴正半轴分别交于 $A$、$B$ 两点，$O$ 为坐标原点． 2022-04-17 21:12:05
27534 5940ad26c8f8b90009611580 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z>0$，且 $x+y+z=1$，求证：$$\dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\dfrac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2.$$ 2022-04-17 21:11:05
27532 5940c7d7c8f8b90008902112 高中 解答题 高中习题 设正数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的和为 $S$，求证：$\displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{S-a_i}\geqslant \dfrac{n}{n-1}$． 2022-04-17 21:10:05
27528 59093a36060a050008cff44c 高中 解答题 高中习题 已知 $a_1,a_2,\cdots ,a_n>0$ 且 $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$，求证：$$\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac{1}{1+a_1+a_2}+\cdots +\dfrac{1}{1+a_1+a_2+\cdots +a_n}<\sqrt{\dfrac 12\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}\right)}.$$ 2022-04-17 21:07:05
27527 59093c37060a050008cff457 高中 解答题 高中习题 求证：$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots +\dfrac{1}{2n}<\dfrac{\sqrt 2}2$． 2022-04-17 21:07:05
27490 59096c7139f91d0009d4bf7c 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c>0$，且满足 $abc=1$，求证：$\left(a-1+\dfrac 1b\right)\left(b-1+\dfrac 1c\right)\left(c-1+\dfrac 1a\right)\leqslant 1$． 2022-04-17 21:45:04
27473 59439105a26d28000bb86e53 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant 2$）是实数，证明：可以选取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}$，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\] 2022-04-17 21:34:04
27468 5948ed8cd37330000b65893f 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是正整数，求证：当 $x \leqslant n$ 时，$n - n{\left( {1 - \dfrac{x}{n}} \right)^n}{{\rm{e}}^x} \leqslant {x^2}$． 2022-04-17 21:31:04
27466 5909751c39f91d0007cc9325 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，三边长为 $a,b,c$，求证：$$4b^3c^3\geqslant (b+c)^2(-a+b+c)^2(a-b+c)(a+b-c).$$ 2022-04-17 21:30:04
27465 5909755139f91d0008f04fbc 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，证明：$\displaystyle \sum\limits_{cyc}\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}\geqslant (a+b+c)^2$． 2022-04-17 21:29:04
27449 590988d939f91d000a7e457d 高中 解答题 高中习题 设复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $\left|z^3-3z-2\right|$ 的取值范围． 2022-04-17 21:20:04
27445 59098ae639f91d0007cc93c6 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_i=\dfrac{1}{2^i}(i=1,2,\cdots ,215)$，$a_{216}=\dfrac{1}{2^{215}}$．正实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{216}$ 满足$$\sum\limits_{i=1}^{216} x_i=1,\quad \sum\limits_{1\leqslant i<j \leqslant 216} x_ix_j = \dfrac{107}{215}+ \sum\limits_{i=1}^{216} \dfrac{a_ix_i^2}{2(1-a_i)}.$$设 $x_2$ 的最大值为 $\dfrac{m}{n}$，其中 $m,n$ 为互质的正整数．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 21:17:04
27439 59098e2838b6b400072dd1f7 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}+2\overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}=3\overrightarrow {CA}\cdot\overrightarrow {CB}$．求 $\sin C$ 的最大值． 2022-04-17 21:15:04
27436 59098f3838b6b400072dd203 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a_1,a_2,\cdots,a_{2016}$ 满足 $9a_i>11a_{i+1}^2(i=1,2,\cdots,2015)$．求$$\left(a_1-a_2^2\right)\cdot\left(a_2-a_3^2\right)\cdots(a_{2015}-a_{2016}^2)\cdot(a_{2016}-a_1^2)$$的最大值． 2022-04-17 21:14:04
27416 590a8e3a6cddca00078f3830 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b\in\mathbb R$，关于 $x$ 的方程 $x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0$ 有一个实根，求 $a^2+b^2$ 的最小值． 2022-04-17 21:02:04
27415 590a8e5a6cddca00092f6ea3 高中 解答题 高中习题 给定正实数 $x_1,y_1,z_1$，定义数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 如下：$$x_{n+1}=y_n+\dfrac 1{z_n},y_{n+1}=z_n+\dfrac{1}{x_n},z_{n+1}=x_n+\dfrac 1{y_n},$$求证：$x_{200},y_{200},z_{200}$ 中至少有一个数大于 $20$． 2022-04-17 21:02:04
27414 590a8e796cddca000a081887 高中 解答题 高中习题 已知实数 $a,b,c$ 和正实数 $\lambda$ 使得 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有三个实根 $x_1,x_2,x_3$，且满足 $x_2-x_1=\lambda$，$x_3>\dfrac{x_1+x_2}2$，求证：$\dfrac{2a^3+27c-9ab}{\lambda^3}\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}2$． 2022-04-17 21:01:04
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