设正数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的和为 $S$，求证：$\displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{S-a_i}\geqslant \dfrac{n}{n-1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
要证不等式即$$\sum_{i=1}^n\left(\dfrac {a_i}{S-a_i}+1\right)=\sum_{i=1}^n{\dfrac {S}{S-a_i}}\geqslant \dfrac {n^2}{n-1}.$$也即$$\sum_{i=1}^n{(S-a_i)}\cdot\sum_{i=1}^n\dfrac 1{S-a_i}\geqslant n^2,$$由柯西不等式立得．
答案
解析
备注
