设 $n$ 是正整数，求证：当 $x \leqslant n$ 时，$n - n{\left( {1 - \dfrac{x}{n}} \right)^n}{{\rm{e}}^x} \leqslant {x^2}$．
【难度】
【出处】
2014年清华大学等五校联考自主招生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于\[\ln \left( {1 + \dfrac{x}{n}} \right) < \dfrac{x}{n},\]于是\[{{\rm e}^x} > {\left( {1 + \dfrac{x}{n}} \right)^n},\]从而\[\begin{split}n - n{\left( {1 - \dfrac{x}{n}} \right)^n}{{\rm e}^x} &\leqslant n - n{\left( {1 - \dfrac{x}{n}} \right)^n}{\left( {1 + \dfrac{x}{n}} \right)^n}\\&= n - n{\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{{n^2}}}} \right)^n}\\&\leqslant n - n\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{{n^2}}} \cdot n} \right)\\&= {x^2}.\end{split}\]其中倒数第二步用到了伯努利不等式．
答案
解析
备注
