求证：$\left({\rm e}^1+{\rm e}^{-1}\right)\left({\rm e}^2+{\rm e}^{-2}\right)\cdots \left({\rm e}^n+{\rm e}^{-n}\right)>\left({\rm e}^{n+1}+2\right)^{\frac n2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
只需要证明$$ \left({\rm e}^{n+1}+{\rm e}^{-n-1}\right)\left({\rm e}^{n+1}+2\right)^{\frac n2}>\left({\rm e}^{n+2}+2\right)^{\frac{n+1}2},$$即$$ \left({\rm e}^{n+1}+{\rm e}^{-n-1}\right)^2\left({\rm e}^{n+1}+2\right)^{n}>\left({\rm e}^{n+2}+2\right)^{n+1},$$而$$LHS> \left({\rm e}^{2n+2}+2\right)\left({\rm e}^{n+1}+2\right)^{n}>\left({\rm e}^{2+n}+2\right)^{n+1}=RHS,$$其中用到了赫尔德不等式．因此命题得证．
答案
解析
备注
