求证：$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots +\dfrac{1}{2n}<\dfrac{\sqrt 2}2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式知\[\begin{split}\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots +\dfrac{1}{2n}\leqslant &\sqrt{n}\cdot\sqrt{\dfrac 1{(n+1)^2}+\dfrac 1{(n+2)^2}+\cdots+\dfrac 1{(2n)^2}}\\<&\sqrt{n}\cdot\sqrt{\dfrac 1{n(n+1)}+\dfrac 1{(n+1)(n+2)}+\cdots+\dfrac 1{(2n-1)2n}}\\=&\sqrt n\cdot\sqrt{\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}+\dfrac 1{n+1}-\dfrac 1{n+2}+\cdots+\dfrac 1{2n-1}-\dfrac 1{2n}}\\=&\dfrac {\sqrt 2}2.\end{split}\]不等式得证．
答案
解析
备注
