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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15450 59706671dbbeff0009d29ef1 高中 解答题 自招竞赛 $f(x)$ 的反函数是 $y=\dfrac x{1+x}$，$g_n(x)+\dfrac 1{f_n(x)}=0$，设 $f_1(x)=f(x)$，且对于 $n>1$，$n\in \mathbb N^*$，有 $f_n(x)=f_{n-1}[f_{n-1}(x)]$．求 $g_n(x)$（$n\in \mathbb N^*$）的解析表达式． 2022-04-17 19:47:13
15330 59a36fb1fc0b3d0008a811d6 高中 解答题 自招竞赛 证明：$\sqrt 5-\sqrt 3$ 是无理数． 2022-04-17 19:41:12
15318 59b73411b049650008cb66fb 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=1$，$$a_{n+1}=\begin{cases}a_n+n,&a_n\leqslant n,\\a_n-n,&a_n>n,\end{cases}n=1,2,\cdots.$$求满足 $a_r<r\leqslant3^{2017}$ 的正整数 $r$ 的个数． 2022-04-17 19:35:12
15314 59ba35d398483e0009c73146 高中 解答题 高中习题 设 $a_1>\dfrac{1}{12}$，且 $a_{n+1}=\sqrt{(n+2)a_n+1}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$． 2022-04-17 19:32:12
15300 59cbb75f1d3b200007f98ec9 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=2+\dfrac n{a_n}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$1+\sqrt n\leqslant a_n <1+\sqrt{n+1}$． 2022-04-17 19:26:12
15118 5cdb75af210b280220ed2de6 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 满足 $x^2_{n+1}\leqslant x_nx_{n+2}(n=1,2,\cdots,2016)$ 和 $\prod_{n=1}^{2018} x_n=1$，证明：$x_{1009}x_{1010}\leqslant 1$． 2022-04-17 19:44:10
15117 5cdb76d5210b280220ed2deb 高中 解答题 自招竞赛 将 $2n(n\geqslant 2)$ 个不同整数分成两组 $a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n$．证明：$\sum_\limits{1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n}|a_i-b_i|-\sum_\limits{1\leqslant i<j\leqslant n}(|a_j-a_i|+|b_j-b_i|)\geqslant n$． 2022-04-17 19:43:10
15059 5e574321210b280d37822388 高中 解答题 高考真题 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,a_3=4,a_4=S_3$．数列 $\{b_n\}$ 满足：对每个 $n\in\mathbb{N}^{\ast},S_n+b_n,S_{n+1}+b_n,S_{n+2}+b_n$ 成等比数列．
（I）求数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_n=\sqrt{\dfrac{a_n}{2b_n}},n\in\mathbb{N}^{\ast}$，证明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<2\sqrt{n},n\in\mathbb{N}^{\ast}$．		 2022-04-17 19:15:10
15010 6011319525bdad0009f73e87 高中 解答题 自招竞赛 对整数 $n\geqslant 2$，设$$A=(a_{i,j})_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots&a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\
\vdots&\vdots&\quad&\vdots\\
a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\
\end{array} \right) $$是一个由 $1,2,\ldots , n^2$ 组成的 $n$ 行的数表（每个数恰好出现一次）．
若存在 $1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n$，使得 $a_{i,j}$ 既是第 $i$ 行中的最大值，也是第 $j$ 列中的最小值，则称数表 $A$ 是一个 $n$ 阶好数表，$a_{i,j}$ 为数表 $A$ 的一个特征数．将所有的 $n$ 阶好数表构成的集合记为 $S_n$．		 2022-04-17 19:46:09
14999 602f5b7925bdad0009f7412f 高中 解答题 高中习题 设 $n\in\mathbb{N^{\ast}}$，实数 $x_1,x_2,\ldots, x_n\in[-1,1]$，函数 $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_n)$．证明：对任意 $a\in(-1,0), b\in(0,1)$，都有 $\min \{|f(a)|,|f(b)|\}<1$． 2022-04-17 19:41:09
14908 59113265e020e70007fbe9fa 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac 12a_n+\dfrac{1}{a_n}$，且 $a_1=1$，求证：对任意 $n\geqslant 2$，均有 $\dfrac 2{\sqrt{a_n^2-2}}$ 是正整数． 2022-04-17 19:49:08
14586 59b8961bc527ed0009f1ca47 高中 填空题 高中习题 定义在正整数集且在正整数集上取值的函数 $f(x)$ 满足 $f(1)\neq1$，且对 $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}$，有 $f\left(n\right)+f\left(n+1\right)$ $+f(f(n))=3n+1$，则 $f(2015)=$  ． 2022-04-16 22:55:59
12585 599165c12bfec200011e01c6 高中 填空题 高考真题 观察下列等式：
${1^2} = 1$
${1^2} - {2^2} = - 3$
${1^2} - {2^2} + {3^2} = 6$
${1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} = - 10$
$ \cdots \cdots $
照此规律，第 $n$ 个等式可为 ．		 2022-04-16 22:27:41
12081 60112a6b25bdad000ac4d222 高中 填空题 自招竞赛 若函数 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$，则 $f_{40}\left(\frac{1}{\sqrt{41}}\right)f_{40}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{41}}\right)=$  ．这里，函数 $f_n(x)=\underbrace{f(f(f\cdots f}_{n\text{个}}(x))\cdots )$，$f_n^{-1}(x)$ 是 $f_n(x)$ 的反函数． 2022-04-16 22:50:36
9567 590aa2fb6cddca000a081923 高中 填空题 高考真题 已知 $f\left(x\right) = \dfrac{x}{1 + x},x \geqslant 0$，若 ${f_1}\left(x\right) = f\left(x\right)$，${f_{n + 1}}\left(x\right) = f\left({f_n}\left(x\right)\right)$，$n \in{{\mathbb{N}}_ +}$，则 ${f_{2014}}\left(x\right)$ 的表达式为 ． 2022-04-16 22:17:10
8868 591503e51edfe2000ade98dc 高中 填空题 高中习题 将杨辉三角中的奇数换成 $1$，偶数换成 $0$，得到如下图所示的 $0-1$ 三角数表．从上往下数，第 $1$ 次全行的数都为 $1$ 的是第 $1$ 行，第 $2$ 次全行的数都为 $1$ 的是第 $3$ 行，$\cdots$，第 $m$ 次全行的数都为 $1$ 的是第 行；第 $61$ 行中 $1$ 的个数是 ．$$\begin{array}{cccccccccccc}
第 1 行\quad&&&&& 1 && 1 &&&&\\
第 2 行\quad &&&& 1 && 0 && 1 \\
第 3 行\quad &&& 1 && 1 && 1 && 1 \\
第 4 行\quad && 1 && 0 && 0 && 0 && 1 \\
第 5行\quad & 1 && 1 && 0 && 0 && 1 && 1 \\
\vdots
\end{array}$$		 2022-04-16 22:49:03
6540 590bd1ff6cddca00078f3a68 高中 选择题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 满足 $f\left(\dfrac {a+2b}{3}\right)=\dfrac {f(a)+2f(b)}{3}$，$f(1)=1$，$f(4)=7$，则 $f(2014)=$  \((\qquad)\) 2022-04-15 20:38:53
5699 590c2a40857b420007d3e500 高中 选择题 高考真题 若空间中 $n$ 个不同的点两两距离都相等，则正整数 $n$ 的取值 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:59:45
4591 591410210cbfff0008aa0585 高中 选择题 自招竞赛 已知 $ - 6 \leqslant {x_i} \leqslant 10$（$i = 1, 2, \cdots , 10$），$\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}} = 50$，当 $\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{10} {x_i^2} $ 取得最大值时，在 ${x_1}, {x_2}, \cdots , {x_{10}}$ 这 $10$ 个数中等于 $-6$ 的数共有 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:48:35
4588 59b62304b04965000728300f 高中 选择题 高中习题 已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为 $x_1,x_2,x_3,x_4$，大圆盘上所写的实数分别记为 $y_1,y_2,y_3,y_4$，如图所示．将小圆盘逆时针旋转 $i (i=1,2,3,4)$ 次，每次转动 $90^\circ$，记 $T_i (i=1,2,3,4)$ 为转动 $i$ 次后各区域内两数乘积之和，例如 $T_1=x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1$．若\[x_1+x_2+x_3+x_4<0, y_1+y_2+y_3+y_4<0\]则以下结论正确的是 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:46:35
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