令 $y_i=x_i+6,i=1,2,\cdots,10$，则$$0\leqslant y_i\leqslant 16,\sum\limits_{i=1}^{10}y_i=110.$$于是$$\sum_{i=1}^{10}x_i^2=\sum_{i=1}^{10}(y_i-6)^2=\sum_{i=1}^{10}y_i^2-12\sum_{i=1}^{10}y_i+360=\sum_{i=1}^{10}y_i^2-960.$$若 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{10}x_i^2$ 取得最大值，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2$ 取得最大值，不妨设 $y_1\geqslant y_2\geqslant y_3\geqslant \cdots\geqslant y_{10}$，先用反证法证明 $y_{10}=0$：
否则 $y_{10}>0$，易知 $y_9<16$：
① 若 $y_9+y_{10}\leqslant 16$，则取 $z_i=y_i,i=1,2,\cdots,8$，$z_9=y_9+y_{10}$，$z_{10}=0$，则$$\sum\limits_{i=1}^{10}z_i^2-\sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2=(y_9+y_{10})^2-y_9^2-y_{10}^2=2y_9y_{10}>0;$$② 若 $y_9+y_{10}>16$，则取 $z_i=y_i,i=1,2,\cdots,8$，$z_9=16$，$z_{10}=y_9+y_{10}-16$，则\[\begin{split} \sum\limits_{i=1}^{10}z_i^2-\sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2=&16^2+(y_9+y_{10}-16)^2-y_9^2-y_{10}^2\\=&(16+y_9)(16-y_9)+(y_9+2y_{10}-16)(y_9-16)\\=&2(16-y_9)(16-y_{10})>0;\end{split}\]综合 ①② 可知，若 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2$ 取得最大值，则 $y_{10}=0$．
同理可推得 $y_9=0,y_8=0$，而若 $y_7=0$，则 $y_1+y_2+\cdots+y_6=110$，而 $y_1+y_2+\cdots+y_6\leqslant 16\times 6=96$，矛盾，所以 $y_7>0$．
令 $y_1=y_2=\cdots=y_6=16$，$y_7=14$，$y_8=y_9=y_{10}=0$，满足题意，所以C正确．