将 $2n(n\geqslant 2)$ 个不同整数分成两组 $a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n$．证明：$\sum_\limits{1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n}|a_i-b_i|-\sum_\limits{1\leqslant i<j\leqslant n}(|a_j-a_i|+|b_j-b_i|)\geqslant n$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $\displaystyle T_n=\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n}|a_i-b_i|-\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}(|a_j-a_i|+|b_j-b_i|)$，下面用数学归纳法证明 $T_n\geqslant n$．当 $n=2$ 时，不妨设 $a_1<a_2,b_1<b_2,a_2<b_2$．$T_2=|b_2-a_1|+|b_2-a_2|+|b_1-a_1|+|b_1-a_2|-|a_2-a_1|-|b_2-b_1|$．当 $a_1<b_1\Rightarrow T_2=b_1-a_1+b_1+b_2+|b_1-a_2|>2$；当 $a_1>b_1\Rightarrow T_2=b_2-a_2+a_1+b_1>2$．假设对正整数 $n$ 成立，对正整数 $n+1$，不妨设 $a_1<a_2<\cdots<a_{n+1},b_1<b_2<\cdots<b_{n+1},a_{n+1}<b_{n+1}$．再设 $b_k<a_{n+1}<b_{k+1}$，则有 $\displaystyle {{T}_{n+1}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{b}_{n+1}}-{{a}_{i}} \right|+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left| {{a}_{n+1}}-{{b}_{i}}\right|-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left| {{a}_{n+1}}-{{a}_{i}}\right|}}}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left| {{b}_{n+1}}-{{b}_{i}} \right|}+\left|{{b}_{n+1}}-{{a}_{n+1}} \right|+{{T}_{n}}$．下证 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{b}_{n+1}}-{{a}_{i}} \right|+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{a}_{n+1}}-{{b}_{i}} \right|}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{a}_{n+1}}-{{a}_{i}} \right|}}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{b}_{n+1}}-{{b}_{i}} \right|\geqslant 0}$．由 $b_k<a_{n+1}<b_{k+1}(k=1,2,\cdots,n)$，得到 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{b}_{n+1}}-{{a}_{i}} \right|+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{a}_{n+1}}-{{b}_{i}} \right|}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{a}_{n+1}}-{{a}_{i}} \right|}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left| {{b}_{n+1}}-{{b}_{i}}\right|}}=2\sum\limits_{i=k+1}^{n}{\left( {{b}_{i}}-{{a}_{n+1}} \right)}>0$．
（2）若 $a_{n+1}<b_1$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{b}_{n+1}}-{{a}_{i}} \right|}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{a}_{n+1}}-{{b}_{i}} \right|}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{a}_{n+1}}-{{a}_{i}} \right|-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left| {{b}_{n+1}}-{{b}_{i}}\right|}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{b}_{i}}-{{a}_{n+1}} \right)}>0$．
（2）若 $a_{n+1}<b_1$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{b}_{n+1}}-{{a}_{i}} \right|}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{a}_{n+1}}-{{b}_{i}} \right|}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{a}_{n+1}}-{{a}_{i}} \right|-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left| {{b}_{n+1}}-{{b}_{i}}\right|}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{b}_{i}}-{{a}_{n+1}} \right)}>0$．
答案
解析
备注
