若空间中 $n$ 个不同的点两两距离都相等，则正整数 $n$ 的取值 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考广东卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
由平面上的正三角形联想到空间的正四面体，可知正整数 $n$ 可以取 $4$，排除 A、C、D，选 B．
下面证明 $n$ 不可能大于 $4$，只需要证明 $n$ 不可能取得 $5$，用反证法．
设空间五点 $A,B,C,D,E$ 中任意两点的距离都相等，那么 $\triangle ABC$ 一定为正三角形，设其中心为 $O$．
由于 $D,E$ 到 $\triangle ABC$ 的三个顶点的距离相等，因此 $D,E$ 都在平面 $ABC$ 在 $O$ 处的法线上，且 $D,E$ 分居平面 $ABC$ 的两侧，于是 $OD=OE=\dfrac 12AB$，但另一方面$$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{\dfrac 23}\cdot AB,$$矛盾．
因此 $n$ 不能大于 $4$．
下面证明 $n$ 不可能大于 $4$，只需要证明 $n$ 不可能取得 $5$，用反证法．
设空间五点 $A,B,C,D,E$ 中任意两点的距离都相等，那么 $\triangle ABC$ 一定为正三角形，设其中心为 $O$．
由于 $D,E$ 到 $\triangle ABC$ 的三个顶点的距离相等，因此 $D,E$ 都在平面 $ABC$ 在 $O$ 处的法线上，且 $D,E$ 分居平面 $ABC$ 的两侧，于是 $OD=OE=\dfrac 12AB$，但另一方面$$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{\dfrac 23}\cdot AB,$$矛盾．因此 $n$ 不能大于 $4$．
题目
答案
解析
备注
