定义在正整数集且在正整数集上取值的函数 $f(x)$ 满足 $f(1)\neq1$，且对 $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}$，有 $f\left(n\right)+f\left(n+1\right)$ $+f(f(n))=3n+1$，则 $f(2015)=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2016$
【解析】
根据题意，当 $n=1$ 时有$$f(1)+f(2)+f(f(1))=4,$$因此 $f(1)=2$，$f(2)=1$．接下来证明\[f(n)=\begin{cases} n+1,&2 \nmid n,\\ n-1 & 2\mid n.\end{cases}\]归纳基础 当 $n=1,2$ 时，命题显然成立．
递推证明 假设当 $n\leqslant k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）时命题成立，则有\[f(k)+f(k+1)+f(f(k))=3k+1,\]也即\[\begin{split} f(k+1)&=3k+1-f(k)-f(f(k))\\
&=\begin{cases} 3k+1-(k+1)-f(k+1),& 2\nmid k,\\ 3k+1-(k-1)-f(k-1),& 2\mid k,\end{cases}\\
&=\begin{cases} 3k+1-(k+1)-f(k+1),&2 \nmid k,\\ 3k+1-(k-1)-k,&2\mid k,\end{cases}\end{split}\]从而有\[f(k+1)=\begin{cases} (k+1)-1,& 2\mid (k+1),\\ (k+1)+1,& 2\nmid (k+1),\end{cases}\]于是命题对 $n=k+1$ 也成立．
因此 $f(2015)=2016$．
&=\begin{cases} 3k+1-(k+1)-f(k+1),& 2\nmid k,\\ 3k+1-(k-1)-f(k-1),& 2\mid k,\end{cases}\\
&=\begin{cases} 3k+1-(k+1)-f(k+1),&2 \nmid k,\\ 3k+1-(k-1)-k,&2\mid k,\end{cases}\end{split}\]从而有\[f(k+1)=\begin{cases} (k+1)-1,& 2\mid (k+1),\\ (k+1)+1,& 2\nmid (k+1),\end{cases}\]于是命题对 $n=k+1$ 也成立．
因此 $f(2015)=2016$．
题目
答案
解析
备注
