若函数 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$，则 $f_{40}\left(\frac{1}{\sqrt{41}}\right)f_{40}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{41}}\right)=$ ．这里，函数 $f_n(x)=\underbrace{f(f(f\cdots f}_{n\text{个}}(x))\cdots )$，$f_n^{-1}(x)$ 是 $f_n(x)$ 的反函数．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(7)
【标注】
【答案】
$\frac{1}{9}$
【解析】
由已知，有$$f_1(x)=f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},$$$$f_2(x)=f(f(x))=\frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}}=\frac{x}{\sqrt{1-2x^2}},$$$$f_3(x)=f(f(f(x)))=\frac{\frac{x}{\sqrt{1-2x^2}}}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{1-2x^2}}\right)^2}}=\frac{x}{\sqrt{1-3x^2}}.$$$$\cdots,$$归纳易得$$f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{1-nx^2}}.$$由 $y=\frac{x}{\sqrt{1-nx^2}}$ 及 $x,y$ 同号得 $x=\frac{y}{\sqrt{1+ny^2}}$．所以$$f_n^{-1}(x)=\frac{x}{\sqrt{1+nx^2}}$.$$从而$$f_n(x)f_n^{-1}(x)=\frac{x^2}{\sqrt{1-n^2x^4}}.$$故$$f_{40}\left(\frac{1}{\sqrt{41}}\right)f_{40}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{41}}\right)=\frac{\frac{1}{41}}{\sqrt{1-\left(\frac{40}{41}\right)^2}}=\frac{1}{9}.$$
题目
答案
解析
备注
