对整数 $n\geqslant 2$，设$$A=(a_{i,j})_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots&a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\
\vdots&\vdots&\quad&\vdots\\
a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\
\end{array} \right) $$是一个由 $1,2,\ldots , n^2$ 组成的 $n$ 行的数表（每个数恰好出现一次）．
若存在 $1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n$，使得 $a_{i,j}$ 既是第 $i$ 行中的最大值，也是第 $j$ 列中的最小值，则称数表 $A$ 是一个 $n$ 阶好数表，$a_{i,j}$ 为数表 $A$ 的一个特征数．将所有的 $n$ 阶好数表构成的集合记为 $S_n$．
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots&a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\
\vdots&\vdots&\quad&\vdots\\
a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\\
\end{array} \right) $$是一个由 $1,2,\ldots , n^2$ 组成的 $n$ 行的数表（每个数恰好出现一次）．
若存在 $1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n$，使得 $a_{i,j}$ 既是第 $i$ 行中的最大值，也是第 $j$ 列中的最小值，则称数表 $A$ 是一个 $n$ 阶好数表，$a_{i,j}$ 为数表 $A$ 的一个特征数．将所有的 $n$ 阶好数表构成的集合记为 $S_n$．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(7)
【标注】
-
证明：若数表 $A$ 是 $n$ 阶好数表，则 $A$ 的特征数是唯一的．标注答案略解析假设 $a_{i,j}$ 和 $a_{i',j'}$（$a_{i,j}\neq a_{i',j'}$）都是数表 $A$ 的特征数．
若 $i=i'$，则 $a_{i,j}=\max\{a_{i,1},a_{i,2},\ldots, a_{i,n}\}=\max\{a_{i',1},a_{i',2}, \ldots ,a_{i',n}\}=a_{i',j'}$，矛盾．
若 $j=j'$，则 $a_{i,j}=\min\{a_{1,j}, a_{2,j},\ldots ,a_{n,j}\}=\min\{a_{1,j'},a_{2,j'},\ldots ,a_{n,j'}\}=a_{i',j'}$，矛盾．
若 $i\neq i', j\neq j'$，则一方面有$$a_{i,j}=\max\{a_{i,1},a_{i,2},\ldots ,a_{i,n}\}>a_{i,j'}>\min\{a_{1,j'},a_{2,j'},\ldots, a_{n,j'}\}=a_{i',j'}.$$另一方面有$$a_{i',j'}=\max\{a_{i',1},a_{i',2},\ldots, a_{i',n}\}>a_{i',j}>\min\{a_{1,j},a_{2,j},\ldots, a_{n,j}\}=a_{i,j}$$矛盾．
从而，反证假设不成立．即若 $A$ 是 $n$ 阶好数表，则 $A$ 的特征数是唯一的． -
从 $S_{19}$ 中随机选取一个数表 $A$，记 $A$ 的特征数为 $X$，试求 $X$ 的数学期望（均值）．标注答案略解析（法一）$X$ 的所有可能取值为 $19,20,21,\ldots, 341,342,343$．
记录 $S_{19}$ 中使得 $X=k$（$k=19,20,21,\ldots, 341,342,343$）的数表 $A$ 的个数为 $n_k$，则$$n_k=19^2\times C_{k-1}^{18}\times 18!\times C_{k-1}^{18}\times 18!\times (18^2)!.$$于是$$n_{362-k}=19^2\times C^{18}_{361-k}\times 18!\times C_{k-1}^{18}\times 18!\times (18^2)!=n_k.$$记 $X=k$ 发生的概率为 $p_k$，则 $p_k=\frac{n_k}{N}$，其中 $k=19,20,21,\ldots,341,342,343, N=n_{19}+n_{20}+n_{21}+\ldots +n_{343}$．于是，$p_k=p_{362-k}, p_{19}+p_{20}+p_{21}+\ldots+p_{343}=1$．注意到$$\begin{aligned}
E(x)&=19p_{19}+20p_{20}+21p_{21}+\ldots+343p_{343}\\
&=19p_{343}+20p_{342}+21p_{341}+\ldots+343p_{19}\\
\end{aligned}$$故$$2E(x)=362(p_{19}+p_{20}+p_{21}+\ldots+p_{343})=362,$$即 $E(x)=181$．
（法二）对任意由 $1,2,\ldots,361$ 组成的 $19$ 行 $19$ 列的数表 $A=(a_{i,j})_{19\times 19}$，定义数表 $B=(b_{j,i})_{19\times 19}$ 如下：将数表 $A$ 的第 $i$ 行，第 $j$ 列的元素写在数表 $B$ 的第 $j$ 行，第 $i$ 列，即
$b_{j,i}=a_{i,j}(1\leqslant i\leqslant 19, 1\leqslant i\leqslant 19)$．于是，数表 $B$ 满足：
（i）数表 $B$ 是由 $1,2,\ldots, 361$ 组成的 $19$ 行 $19$ 列的数表；
（ii）数表 $B$ 的第 $j$ 行的元素即为数表 $A$ 的第 $j$ 列的元素；
（iii）数表 $B$ 的第 $i$ 列的元素即为数表 $A$ 的第 $i$ 列的元素；
（iv）若在数表 $A$ 中，$a_{i,j}$ 是第 $i$ 行中的最大值，也是第 $j$ 列中的最小值，则在数表 $B$ 中，$b_{j,i}$ 是第 $i$ 列中的最大值，也是第 $j$ 行中的最小值．
定义数表 $C=(c_{j,i})_{19\times 19}$ 如下：它与数表 $B$ 对应位置的元素的和为 $362$，即 $c_{j,i}=362-b{j,i}$（$1\leqslant i\leqslant 19, 1\leqslant j\leqslant 19$）．于是，数表 $C$ 满足：
（i）数表 $C$ 是由 $1,2,\ldots, 361$ 组成的 $19$ 行 $19$ 列的数表；
（ii）若在数表 $A$ 中，$a_{i,j}$ 是第 $i$ 行中的最大值，也是第 $j$ 列中的最小值，则在数表 $C$ 中，$c_{j,i}$ 是第 $i$ 列中的最小值，也是第 $i$ 行中的最大值．
由此可知，若 $A\in S_{19}$，且其好数为 $a_{i,j}$（$1\leqslant i\leqslant 19, 1\leqslant j\leqslant 19$），则 $C\in S_{19}$，且其好数为 $c_{j,i}=362-b_{j,i}=362-a_{i,j}$．设上述由数表 $A$ 得到数表 $C$ 的变换（即映射）为 $T$，即 $C=T(A)$，则 $T(C)=A$．于是，数表 $A$ 与数表 $C=T(A)$ 的好数之和为 $362$．故 $T$ 是从 $S_{19}$ 到 $S_{19} $ 的一个一一映射．记 $ S_{19} $ 中使得 $ X=k $（$ k=19,20,21,\ldots,341,342,343 $）的数表 $ A $ 的个数为 $ n_{k} $，则 $ n_k=n_{362-k}$．以下同法一．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
