设实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 满足 $x^2_{n+1}\leqslant x_nx_{n+2}(n=1,2,\cdots,2016)$ 和 $\prod_{n=1}^{2018} x_n=1$，证明：$x_{1009}x_{1010}\leqslant 1$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由条件 $x_n,x_{n+2}$ 同号．反证法，假设 $x_{1009}x_{1010}>1$．
（1）若 $x_{1009},x_{1010}$ 同为正数，由 $x_n,x_{n+2}$ 同号可知 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 同号．由 $x_{n+1}^{2}\leqslant{{x}_{n}}{{x}_{n+2}}\Rightarrow \dfrac{{{x}_{n+1}}}{{{x}_{n}}}\leqslant \dfrac{{{x}_{n+2}}}{{{x}_{n+1}}}\Rightarrow\dfrac{{{x}_{1009}}}{{{x}_{1008}}}\leqslant \dfrac{{{x}_{1010}}}{{{x}_{1009}}}\leqslant \dfrac{{{x}_{1011}}}{{{x}_{1010}}}\Rightarrow{{x}_{1009}}{{x}_{1010}}\leqslant {{x}_{1011}}{{x}_{1008}}\Rightarrow{{x}_{1011}}{{x}_{1008}}>1$．同理 $\dfrac{{{x}_{1009}}}{{{x}_{1007}}}=\dfrac{{{x}_{1009}}}{{{x}_{1008}}}\cdot\dfrac{{{x}_{1008}}}{{{x}_{1007}}}\leqslant \dfrac{{{x}_{1011}}}{{{x}_{1010}}}\cdot \dfrac{{{x}_{1012}}}{{{x}_{1011}}}=\dfrac{{{x}_{1012}}}{{{x}_{1010}}}\Rightarrow{{x}_{1007}}{{x}_{1012}}>1$．类似可证明：$x_{1006}x_{1013}>1,x_{1005}x_{1014}>1,\cdots,x_1x_{2018}>1$．因此 $\displaystyle \prod^{2018}_{n=1}x_n>1$，矛盾．
（2）若 $x_{1009},x_{1010}$ 同为负数，由 $x_n,x_{n+2}$ 同号可知 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 均为负数，仍然有 $x_{n+1}^2\leqslant x_nx_{n+2}\Rightarrow \dfrac{x_{n+1}}{x_n}\leqslant \dfrac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$，类似（1）可证得．
（1）若 $x_{1009},x_{1010}$ 同为正数，由 $x_n,x_{n+2}$ 同号可知 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 同号．由 $x_{n+1}^{2}\leqslant{{x}_{n}}{{x}_{n+2}}\Rightarrow \dfrac{{{x}_{n+1}}}{{{x}_{n}}}\leqslant \dfrac{{{x}_{n+2}}}{{{x}_{n+1}}}\Rightarrow\dfrac{{{x}_{1009}}}{{{x}_{1008}}}\leqslant \dfrac{{{x}_{1010}}}{{{x}_{1009}}}\leqslant \dfrac{{{x}_{1011}}}{{{x}_{1010}}}\Rightarrow{{x}_{1009}}{{x}_{1010}}\leqslant {{x}_{1011}}{{x}_{1008}}\Rightarrow{{x}_{1011}}{{x}_{1008}}>1$．同理 $\dfrac{{{x}_{1009}}}{{{x}_{1007}}}=\dfrac{{{x}_{1009}}}{{{x}_{1008}}}\cdot\dfrac{{{x}_{1008}}}{{{x}_{1007}}}\leqslant \dfrac{{{x}_{1011}}}{{{x}_{1010}}}\cdot \dfrac{{{x}_{1012}}}{{{x}_{1011}}}=\dfrac{{{x}_{1012}}}{{{x}_{1010}}}\Rightarrow{{x}_{1007}}{{x}_{1012}}>1$．类似可证明：$x_{1006}x_{1013}>1,x_{1005}x_{1014}>1,\cdots,x_1x_{2018}>1$．因此 $\displaystyle \prod^{2018}_{n=1}x_n>1$，矛盾．
（2）若 $x_{1009},x_{1010}$ 同为负数，由 $x_n,x_{n+2}$ 同号可知 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 均为负数，仍然有 $x_{n+1}^2\leqslant x_nx_{n+2}\Rightarrow \dfrac{x_{n+1}}{x_n}\leqslant \dfrac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$，类似（1）可证得．
答案
解析
备注
