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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27577 59084af0060a05000a4a98c9 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整系数多项式 $P(x)$，使得存在一个无穷项整数数列 $\{a_n\}$，其中任意两项互不相等，且满足：$P(a_1)=0$，$P(a_{k+1})=a_k$（$k=1,2,\cdots $）． 2022-04-17 21:32:05
27530 590936e0060a05000a338f86 高中 解答题 高中习题 证明：$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt {3+\cdots +\sqrt n}}}<2$． 2022-04-17 21:09:05
27480 5948933aa26d280008874b0d 高中 解答题 高中习题 一个等腰梯形的腰和底的长分别为 $\sqrt 2$ 和 $3$，求这个梯形面积的最大值． 2022-04-17 21:39:04
27473 59439105a26d28000bb86e53 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant 2$）是实数，证明：可以选取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}$，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\] 2022-04-17 21:34:04
27450 590988b539f91d0009d4c06a 高中 解答题 高中习题 求 $\left(15+\sqrt{215}\right)^{20}+\left(15+\sqrt{215}\right)^{15}$ 的个位数． 2022-04-17 21:20:04
27440 59098e1a38b6b400091effc5 高中 解答题 高中习题 设集合 $A$ 是整数集 $\mathbb Z$ 的子集，其中有正有负，且 $a,b\in A$（$a,b$ 可以相等），则 $a+b\in A$．求证：若 $a,b\in A$，则 $a-b\in A$． 2022-04-17 21:15:04
27437 59098e6b38b6b40008d7bb6b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的奇函数，$f(1)=1$，且对任意 $x<0$，均有 $f\left(\dfrac x{x-1}\right)=xf(x)$．求\[f(1)f \left(\dfrac 1{100} \right )+f \left(\dfrac12 \right)f \left(\dfrac 1{99} \right)+f \left(\dfrac 13 \right )f \left(\dfrac 1{98} \right )+\cdots+f \left(\dfrac 1{50} \right)f \left(\dfrac 1{51} \right)\]的值． 2022-04-17 21:14:04
27415 590a8e5a6cddca00092f6ea3 高中 解答题 高中习题 给定正实数 $x_1,y_1,z_1$，定义数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 如下：$$x_{n+1}=y_n+\dfrac 1{z_n},y_{n+1}=z_n+\dfrac{1}{x_n},z_{n+1}=x_n+\dfrac 1{y_n},$$求证：$x_{200},y_{200},z_{200}$ 中至少有一个数大于 $20$． 2022-04-17 21:02:04
27386 590aa53c6cddca00078f38df 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+3}\leqslant a_n+3$，$a_{n+2}\geqslant a_n+2$，求 $\{a_n\}$． 2022-04-17 21:43:03
27374 590ac1d16cddca000a081997 高中 解答题 高中习题 从 $1,2,\cdots ,100$ 个连续的正整数中选取三个不同的数． 2022-04-17 21:35:03
27364 590ac5d96cddca000a0819c7 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\left\{A_1,A_2,\cdots,A_n\right\}$，其中 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是 $n$ 个互不相同的有限集合（$n\geqslant 2$），满足对任意 $A_i,A_j\in S$，均有 $A_i\cup A_j\in S$．若 $k=\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\left|A_i\right|\geqslant 2$．证明：存在 $x\in\bigcup\limits_{i=1}^n{A_i}$，使得 $x$ 属于 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 中的至少 $\dfrac nk$ 个集合（这里 $|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数）． 2022-04-17 21:31:03
27320 59535793d3b4f90007b6faa5 高中 解答题 高考真题 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC=90^\circ$，$AB=\sqrt 3$，$BC=1$，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，$\angle BPC=90^\circ$． 2022-04-17 21:06:03
27313 590adda16cddca0008610f5b 高中 解答题 高考真题 已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于 $1$ 的自然数．设集合 $M = \left\{{0,1,2, \cdots ,q - 1}\right\}$，集合$$A = \left\{{x \left| \right.{x ={x_1}+{x_2}q + \cdots +{x_n}{q^{n - 1}},{x_i}\in M,i = 1,2, \cdots ,n}}\right\}.$$ 2022-04-17 21:02:03
27299 590bd0506cddca000a081adf 高中 解答题 自招竞赛 一个等腰梯形的腰和底的长分别为 $\sqrt 2$ 和 $3$，求这个梯形面积的最大值． 2022-04-17 21:55:02
27277 590bda916cddca000a081b2e 高中 解答题 自招竞赛 记 $n$ 个元素中取 $k$ 个元素的组合数为 $\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}$，利用数学归纳法证明：对 $n \geqslant1$，$\displaystyle \sum \limits _{k=0} ^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=2^n$． 2022-04-17 21:44:02
27232 590bf127d42ca7000853754f 高中 解答题 自招竞赛 下图是2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报，左边是恒大队，右边是首尔队，该海报的寓意是什么？要求简单推导海报中两个数学式子的结果．一个数学式子是 $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$（拉马努金式子），另一个是 $\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1$（已知欧拉公式 $\mathrm e^{\pi \mathrm i}=\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha$）． 2022-04-17 21:21:02
27194 590c2562857b42000aca37f7 高中 解答题 自招竞赛 求证：平面内间距为 $d$ 的一组平行直线，任意放一长为 $l$（$l < d$）的针与直线相交的概率为 $P = \dfrac{{2l}}{{\pi d}}$． 2022-04-17 21:59:01
27183 59126a54e020e700094b0aaa 高中 解答题 自招竞赛 为测量一工件的内圆弧半径 $R$，工人用三个半径均为 $r$ 的圆柱形量棒 ${O_1},{O_2},{O_3}$ 放在与工件圆弧相切的位置上，如图．通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒 ${O_2}$ 顶侧面的垂直深度 $h$，试写出 $R$ 用 $h$ 表示的函数关系式，并计算当 $r = 10$ $\rm{mm}$，$h = 4$ $\rm{mm}$ 时，$R$ 的值． 2022-04-17 21:53:01
27182 59116bf5e020e70007fbea67 高中 解答题 自招竞赛 一艘船以 ${v_1} = 10\rm {{km}}/{{h}}$ 向西行驶，在西南方向 $300 \rm {{km}}$ 处有一台风中心，周围 $100 \rm {{km}}$ 为暴雨区，且以 ${v_2} = 20 \rm {{km/h}}$ 向北移动，问该船遭遇暴雨的时间段长度． 2022-04-17 21:53:01
27120 59101c15857b4200085f8709 高中 解答题 自招竞赛 两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 $\dfrac{1}{2}$．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率． 2022-04-17 21:18:01
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