求所有的整系数多项式 $P(x)$，使得存在一个无穷项整数数列 $\{a_n\}$，其中任意两项互不相等，且满足：$P(a_1)=0$，$P(a_{k+1})=a_k$（$k=1,2,\cdots $）．
【难度】
【出处】
2016年北京大学数学学科夏令营初赛
【标注】
【答案】
$P(x)=x+C$，其中常数 $C\in\mathbb Z$
【解析】
设 $P(x)=\lambda_0 +\lambda_1x+\cdots +\lambda_mx^m$，$m\in\mathbb N^*$，$\lambda_i\in\mathbb Z$（$i=0,1,2,\cdots ,m$），则$$P(a_{k+1})-P(a_{k+2})=a_k-a_{k+1},k=1,2,\cdots ,$$而$$P(a_{k+1})-P(a_{k+2})=\lambda_1(a_{k+1}-a_{k+2})+\lambda_2(a_{k+1}^2-a_{k+2}^2)+\cdots +\lambda_m(a_{k+1}^m-a_{k+2}^m),$$因此$$(a_{k+1}-a_{k+2})\mid (a_k-a_{k+1}),k=1,2,\cdots ,$$因此$$\big|a_1-a_2\big|\geqslant \big|a_2-a_3\big|\geqslant \cdots \geqslant \big|a_k-a_{k+1}\big|\geqslant \big|a_{k+1}-a_{k+2}\big|\geqslant \cdots .$$由于 $\big|a_1-a_2\big|$ 的值有限，因此必然存在 $K$，使得当 $k\geqslant K$ 时，有$$\big|a_k-a_{k+1}\big|= \big|a_{k+1}-a_{k+2}\big|= \big|a_{k+2}-a_{k+3}\big|=\cdots .$$由于数列 $\{a_n\}$ 中任意两项互不相等，因此有$$a_k-a_{k+1}=a_{k+1}-a_{k+2}=a_{k+2}-a_{k+3}=\cdots ,k\geqslant K,k\in\mathbb Z,$$因此有$$P(a_{k+1})-a_{k+1}=P(a_{k+2})-a_{k+2}=\cdots ,k\geqslant K,k\in\mathbb Z.$$若 $m\geqslant 2$，则方程 $P(x)-x=P(a_{K+1})-a_{K+1}$ 有无数个解，矛盾．这样得到了所有符合题意的整系数多项式 $P(x)=x+C$，其中常数 $C\in\mathbb Z$．
答案
解析
备注
