题目 从 $1,2,\cdots ,100$ 个连续的正整数中选取三个不同的数． 问题1 可以选出的等差数列共有多少个？ 答案1 $ 4900 $ 解析1 考虑首项和末项的奇偶性必须相同，且首末项确定时数列确定，因此可以选出的等差数列个数为$${\rm A}_{50}^2+{\rm A}_{50}^2=4900.$$ 备注1 问题2 可以选出的等比数列共有多少个？ 答案2 $210$ 解析2 可以选出的等比数列必然形如 $m^2a,mna,n^2a$，其中 $m,n,a$ 为正整数，且 $m,n$ 互质，$m\neq n$．先考虑 $m<n$ 的情形，可能的 $(m,n)$ 有\begin{eqnarray*}\begin{split} &(1,2),\\<br/>&(1,3),(2,3),\\<br/>&(1,4),(3,4),\\<br/>&(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),\\<br/>&(1,6),(5,6),\\<br/>&(1,7),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(6,7),\\<br/>&(1,8),(3,8),(5,8),(7,8),\\<br/>&(1,9),(2,9),(4,9),(5,9),(7,9),(8,9),\\<br/>&(1,10),(3,10),(7,10),(9,10).\end{split} \end{eqnarray*}对应的 $a$ 个数为$$\left[\dfrac{100}{2^2}\right]+2\left[\dfrac{100}{3^2}\right]+2\left[\dfrac{100}{4^2}\right]+4\left[\dfrac{100}{5^2}\right]+2\left[\dfrac{100}{6^2}\right]+6\left[\dfrac{100}{7^2}\right]+4\left[\dfrac{100}{8^2}\right]+6\left[\dfrac{100}{9^2}\right]+4\left[\dfrac{100}{10^2}\right]=105.$$因此所有的等比数列的个数为 $210$． 备注2 问题3 三个数的和为 $3$ 的倍数有多少种选法？ 答案3 $ 53922 $ 解析3 $1,2,\cdots ,100$ 中模 $3$ 余 $0,1,2$ 的数分别有 $33,34,33$ 个．因此所求的选法数为$${\rm C}_{33}^3+{\rm C}_{34}^3+{\rm C}_{33}^3+{\rm C}_{33}^1{\rm C}_{34}^1{\rm C}_{33}^1=53922.$$ 备注3 问题4 两两之差不小于 $2$，有多少种选法？ 答案4 $152096$ 解析4 从 $1,2,\cdots ,98$ 中选出 $3$ 个数从小到大排列，依次加上 $0,1,2$ 即可，因此不同的选法总数共有 ${\rm C}_{98}^3=152096$． 备注4