求证：平面内间距为 $d$ 的一组平行直线，任意放一长为 $l$（$l < d$）的针与直线相交的概率为 $P = \dfrac{{2l}}{{\pi d}}$．
【难度】
【出处】
2013年清华大学保送生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设针的中点离最近的直线的距离为 $x$，与直线所成的角为 $\theta $，则 $x \in \left[ {0, \dfrac{d}{2}} \right]$，$\theta \in \left[ {0, \dfrac{\pi}{2}} \right]$．
针与直线相交，即 $x \leqslant \dfrac{{l\sin \theta }}{2}$，因此$$P = \dfrac{{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\dfrac{{l\sin \theta }}{2}{\mathrm{d}}\theta } }}{{\dfrac{d}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2}}}= \dfrac{{2l}}{{\pi d}}.$$
针与直线相交，即 $x \leqslant \dfrac{{l\sin \theta }}{2}$，因此$$P = \dfrac{{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\dfrac{{l\sin \theta }}{2}{\mathrm{d}}\theta } }}{{\dfrac{d}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2}}}= \dfrac{{2l}}{{\pi d}}.$$
答案
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