如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC=90^\circ$，$AB=\sqrt 3$，$BC=1$，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，$\angle BPC=90^\circ$．
【难度】
【出处】
2013年高考新课标I卷（理）
【标注】
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若 $PB=\dfrac 12$，求 $PA$；标注答案$\dfrac{\sqrt 7}2$解析以 $BC$ 为直径的圆的方程为 $x^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2=\dfrac 14$，即 $x^2+y^2-y=0$，设 $P(m,n)$（$m<0$），则$$\begin{cases} m^2+n^2=\dfrac 14,\\ m^2+n^2-n=0,\end{cases} $$解得 $m=-\dfrac{\sqrt 3}4,n=\dfrac 14$．于是 $PA=\sqrt{(m+\sqrt 3)^2+n^2}=\dfrac{\sqrt 7}2$．
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若 $\angle APB=150^\circ$，求 $\tan \angle PBA$．标注答案$\dfrac{\sqrt 3}4$解析过点 $A,P,B$ 的圆的方程为 $\left(x+\dfrac{\sqrt 3}2\right)^2+\left(y+\dfrac 32\right)^2=3$，即 $x^2+y^2+\sqrt 3x+3y=0$．该圆与以 $BC$ 为直径的圆的公共弦 $PB$ 所在的直线方程为$$\left(x^2+y^2-y\right)-\left(x^2+y^2+\sqrt 3x+3y\right)=0,$$也即$$\sqrt 3x+4y=0,$$于是所求的正切值为 $\dfrac{\sqrt 3}4$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
