题目 已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于 $1$ 的自然数．设集合 $M = \left\{{0,1,2, \cdots ,q - 1}\right\}$，集合$$A = \left\{{x \left| \right.{x ={x_1}+{x_2}q + \cdots +{x_n}{q^{n - 1}},{x_i}\in M,i = 1,2, \cdots ,n}}\right\}.$$ 问题1 当 $q = 2$，$n = 3$ 时，用列举法表示集合 $A$； 答案1 $\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ 解析1 枚举如下：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}<br/>\hline<br/>x_1&0&0&0&0&1&1&1&1\\<br/>\hline<br/>x_2&0&0&1&1&0&0&1&1\\<br/>\hline<br/>x_3&0&1&0&1&0&1&0&1\\<br/>\hline<br/>x&0&4&2&6&1&5&3&7\\<br/>\hline<br/>\end{array}$$因此 $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$． 备注1 问题2 设 $s , t \in A$，$s ={a_1}+{a_2}q + \cdots +{a_n}{q^{n - 1}}$，$t ={b_1}+{b_2}q + \cdots +{b_n}{q^{n - 1}}$，其中 ${a_i},{b_i}\in M$，$i = 1 , 2 , \cdots , n$．证明：若 ${a_n}<{b_n}$，则 $s < t$． 答案2 略 解析2 若 $a_n<b_n$，则 $a_n-b_n\leqslant -1$，又 $a_i-b_i\leqslant q-1$，$i=1,2,\cdots ,n-1$，因此\[\begin{split} s-t&=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)q\cdots +(a_n-b_n)q^{n-1}\\<br/>&\leqslant (q-1)+(q-1)q+\cdots+(q-1)q^{n-2}-q^{n-1}\\<br/>&=q-1+q^2-q+\cdots +q^{n-1}-q^{n-2}-q^{n-1}\\<br/>&=-1<0,\end{split}\]因此 $s<t$． 备注2