记 $n$ 个元素中取 $k$ 个元素的组合数为 $\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}$，利用数学归纳法证明：对 $n \geqslant1$，$\displaystyle \sum \limits _{k=0} ^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=2^n$．
【难度】
【出处】
2014年中国人民大学财经学院金融学与数学实验班选拔试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
$n=1$ 时，显然有$$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=2=2^1;$$若当 $n=k$ 时，有 $\displaystyle \sum \limits _{i=0} ^{k}\begin{pmatrix} k\\ i \end{pmatrix}=2^k$ 成立，则对 $n=k+1$，有$$\begin{split} 2^{k+1}=&2^k+2^k=\sum \limits _{i=0} ^{k}\begin{pmatrix} k\\ i \end{pmatrix}+\sum \limits _{i=0} ^{k}\begin{pmatrix} k\\ i \end{pmatrix}\\
=&\begin{pmatrix}k\\0\end{pmatrix}+\left[\begin{pmatrix}k\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k\\0\end{pmatrix}\right]+\left[\begin{pmatrix}k\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k\\1\end{pmatrix}\right]+\cdots+\left[\begin{pmatrix}k\\{k-1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k\\k\end{pmatrix}\right]+\begin{pmatrix}k\\k\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}{k+1}\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{k+1}\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{k+1}\\2\end{pmatrix}+\cdots+\begin{pmatrix}{k+1}\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{k+1}\\{k+1}\end{pmatrix}\\=&\displaystyle \sum \limits _{i=0} ^{k+1}\begin{pmatrix} {k+1}\\ i \end{pmatrix}.\end{split} $$即命题对 $n=k+1$ 也成立．
综上知，命题得证．
=&\begin{pmatrix}k\\0\end{pmatrix}+\left[\begin{pmatrix}k\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k\\0\end{pmatrix}\right]+\left[\begin{pmatrix}k\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k\\1\end{pmatrix}\right]+\cdots+\left[\begin{pmatrix}k\\{k-1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k\\k\end{pmatrix}\right]+\begin{pmatrix}k\\k\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}{k+1}\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{k+1}\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{k+1}\\2\end{pmatrix}+\cdots+\begin{pmatrix}{k+1}\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{k+1}\\{k+1}\end{pmatrix}\\=&\displaystyle \sum \limits _{i=0} ^{k+1}\begin{pmatrix} {k+1}\\ i \end{pmatrix}.\end{split} $$即命题对 $n=k+1$ 也成立．
综上知，命题得证．
答案
解析
备注
