证明：$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt {3+\cdots +\sqrt n}}}<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到 $k> \sqrt {k+(k+1)}$（$k\geqslant 3,k\in\mathbb N$），于是\[\begin{split} 2&=\sqrt{1+3}\\ &>\sqrt{1+\sqrt {2+3}}\\ & >\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+4}}}\\ &>\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+5}}}} \\ &>\cdots \\ &> \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt {3+\cdots +\sqrt{n}}}},\end{split}\]因此原命题得证．
答案
解析
备注
