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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15728 59098cba38b6b400091effa9 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=\dfrac{(n+1)(2a_n-n)}{a_n+4n}$（$n\in\mathbb N^*$）． 2022-04-17 19:24:16
15707 590ac7036cddca00078f393d 高中 解答题 高中习题 求 $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\arctan\dfrac{1}{2i^2}$． 2022-04-17 19:12:16
15695 590ae1816cddca0008610f74 高中 解答题 高中习题 求$$\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\right)^2+\left(\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\right)^2+\cdots +\left(\dfrac 1n\right)^2+\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\right)$$的值． 2022-04-17 19:05:16
15644 591186cde020e7000878f6ad 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${a_n} = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)}}$，求 ${S_{2003}}$． 2022-04-17 19:35:15
15561 595c81036e0c650007a0427c 高中 解答题 高中习题 已知 $S(n,k)=\displaystyle \sum_{i=1}^n{i^k}$，其中 $k,n\in\mathbb N^{\ast}$． 2022-04-17 19:47:14
15518 59646ecde6a2e7000bb7ec10 高中 解答题 自招竞赛 已知 $k$ 为给定的正整数，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_{n+1}=\left(3^{\frac {2}{2k-1}}-1\right)S_n+3 $（$n\in \mathbb N^*$），其中 $S_n$ 是 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．令 $b_n=\dfrac 1n\log_3(a_1a_2\cdots a_n)$（$n\in \mathbb N^*$），记 $\displaystyle T_k=\sum \limits_{i=1}^{2k}\left|b_i-\dfrac 32\right| $．若 $T_k \in \mathbb N^*$，求 $k$ 的所有可能值． 2022-04-17 19:21:14
15490 596875db22d14000091d720c 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$，对于满足 $a_1^2+a_{n+1}^2\leqslant\dfrac25$ 的等差数列 $\{a_n\}$，试证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=n+1}^{2n+1}{a_i}\leqslant n+1$． 2022-04-17 19:07:14
15485 596883ad22d140000ac07f21 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A$ 是所有十进制表示中的数码不包含 $2,0,1,6$ 的正整数 $x$ 构成的集合．证明：集合 $A$ 中的所有元素的倒数之和 $\displaystyle \sum\limits_{x\in A}\dfrac{1}{x}<3$． 2022-04-17 19:04:14
15481 596b202222d1400008181694 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $\dfrac{a_{n+1}+a_n-1}{a_{n+1}-a_n+1}=n(n\in\mathbb N^*)$，且 $a_2=6$． 2022-04-17 19:02:14
15471 596c34ea22d14000091d7367 高中 解答题 自招竞赛 设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．已知$$a_k=\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{k^2+1}+\cdots+\dfrac{1}{(k+1)^2-1},k=1,2,\cdots,$$试求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\left(\left[\dfrac{1}{a_k}\right]+\left[\dfrac{1}{a_k}+\dfrac12\right]\right)}$． 2022-04-17 19:58:13
15454 5970240edbbeff0009d29e90 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=4$，$a_{n+1}a_n+6a_{n+1}-4a_n-8=0$，记 $b_n=\dfrac 6{a_n-2}$，$n\in \mathbb N^*$． 2022-04-17 19:49:13
15426 597ab5bd0a41cd0007247190 高中 解答题 自招竞赛 对数列 $\{a_n\}$，规定 $\{\Delta a_n\}$ 为数列 $\{a_n\}$ 的一阶差分数列，其中 $\Delta a_n=a_{n+1}-a_n,n\in\mathbb N^*$，对正整数 $k$，规定 $\{\Delta^k a_n\}$ 为 $\{a_n\}$ 的 $k$ 阶差分数列．其中 $\Delta^ka_n=\Delta^{k-1}a_{n+1}-\Delta^{k-1}a_n=\Delta(\Delta^{k-1}a_n)$． 2022-04-17 19:34:13
15360 598abce191e0350007fda02b 高中 解答题 自招竞赛 已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$f(1)=\dfrac{10}{3}$，且对任意实数 $x,y$，恒有\[f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).\qquad \qquad \qquad \text{ ① }\]若数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=3f(n)-f(n-1),n \in \mathbb N^*$． 2022-04-17 19:58:12
15359 598ac90491e0350007fda063 高中 解答题 自招竞赛 设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,S_n=2^n+r$（$r$ 为常数），记 $b_n=2(1+\log_2a_n)(n \in \mathbb N^*)$． 2022-04-17 19:57:12
15352 598c0c8ade229f0008daf606 高中 解答题 自招竞赛 （14分）设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且\[a_1 + a_2 = 4, \dfrac{2S_{n+1}+1}{2S_n + 1}=\dfrac{a_2}{a_1}=c(c>0, n \in \mathbb N^*).\] 2022-04-17 19:53:12
15234 5c6f6323210b280151d749d0 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{35}{\sin 5k=\tan \frac{m}{n}}$，这里角的单位为度，$m$，$n$ 为互素的正整数且满足 $\frac{m}{n}<90$．求 $m+n$． 2022-04-17 19:51:11
15231 5c6fb654210b28428f14c959 高中 解答题 自招竞赛 试求最接近 $\displaystyle 1000\sum\limits_{n=3}^{10000}{\frac{1}{{{n}^{2}}-4}}$ 的整数值． 2022-04-17 19:49:11
15226 5c74b7f5210b284290fc2312 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 是一个正整数，集合 $A$ 由总和为 $2m$ 的 $m$ 个连续的整数构成，集合 $B$ 由总和为 $m$ 的 $2m$ 个连续的整数构成。已知集合 $A$ 中最大元素与集合 $B$ 中最大元素之差的绝对值是 $99$，求 $m$ 。 2022-04-17 19:47:11
15211 5c763c3a210b28428f14ce1c 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\left\{ {{2}^{0}} ,{{2}^{1}}, {{2}^{1}} ,\ldots ,{{2}^{10}} \right\}$．考虑集合 $S$ 中两个元素所有可能的差的绝对值，记 $N$ 为这些绝对值的和，求 $N$ 除以1000的余数． 2022-04-17 19:39:11
15208 5c77428a210b28428f14ce50 高中 解答题 自招竞赛 定义 $n!!$ 为 $n\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-4 \right)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 1$（$n$ 为奇数时）或 $n\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-4 \right)\cdot \ldots \cdot 4\cdot 2$（$n$ 为偶数时）当 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2009}{\frac{\left( 2i-1 \right)!!}{\left( 2i \right)!!}}$ 表示成最简分数时，它的分母是 ${{2}^{a}}\cdot b$，其中 $b$ 是奇数，求 $\frac{ab}{10}$． 2022-04-17 19:37:11
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