已知 $k$ 为给定的正整数，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_{n+1}=\left(3^{\frac {2}{2k-1}}-1\right)S_n+3 $（$n\in \mathbb N^*$），其中 $S_n$ 是 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．令 $b_n=\dfrac 1n\log_3(a_1a_2\cdots a_n)$（$n\in \mathbb N^*$），记 $\displaystyle T_k=\sum \limits_{i=1}^{2k}\left|b_i-\dfrac 32\right| $．若 $T_k \in \mathbb N^*$，求 $k$ 的所有可能值．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$k=1$
【解析】
由条件知$$a_2=\left(3^{\frac {2}{2k-1}}-1\right)\times 3+3=3^{\frac {2k+1}{2k-1}}.$$又$$\begin{split}&a_{n+1}=\left(3^{\frac {2}{2k-1}}-1\right)S_n+3,\\&a_{n}=\left(3^{\frac {2}{2k-1}}-1\right)S_{n-1}+3(n\geqslant 2),\end{split}$$故$$a_{n+1}-a_n=\left(3^{\frac {2}{2k-1}}-1\right)a_n,$$即$$ a_{n+1}=3^{\frac {2}{2k-1}}a_n,$$于是$$a_n=a_2\left(3^{\frac {2}{2k-1}}\right)^{n-2}=3^{\frac {2n+2k-3}{2k-1}}(n\geqslant 2),$$显然 $n=1$ 也符合．
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n =3^{\frac {2n+2k-3}{2k-1}}$（$n \in \mathbb N^*$），从而\[\begin{split}b_n&=\dfrac 1n\log_3(a_1a_2\cdots a_n)\\ &=\dfrac 1n \cdot \dfrac {1}{2k-1}\sum \limits_{i=1}^{n}(2i+2k-3)\\&=1+\dfrac {n-1}{2k-1},\end{split}\]于是$$b_n-\dfrac 32=\dfrac {n-\left(k+\dfrac 12\right)}{2k-1}.$$从而当 $n\leqslant k$ 时，$b_n-\dfrac 32<0$；当 $n\geqslant k+1$ 时 $b_n-\dfrac 32>0$．
因此\[\begin{split} T_k&=\sum \limits_{i=1}^{2k}\left|b_i-\dfrac 32\right|\\&= \sum \limits_{i=1}^{k}\left(\dfrac 32-b_i\right)+\sum \limits_{i=k+1}^{2k}\left(b_i-\dfrac 32\right)\\&=\dfrac {k^2}{2k-1}. \end{split}\]因为 $T_k\in \mathbb N^*$，所以$$(2k-1)|k^2,$$故$$(2k-1)|(4k^2-1+1),$$于是$$(2k-1)|1,$$故 $2k-1=1$，即 $k=1$．
因此所求 $k$ 的所有可能值为 $k=1$．
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n =3^{\frac {2n+2k-3}{2k-1}}$（$n \in \mathbb N^*$），从而\[\begin{split}b_n&=\dfrac 1n\log_3(a_1a_2\cdots a_n)\\ &=\dfrac 1n \cdot \dfrac {1}{2k-1}\sum \limits_{i=1}^{n}(2i+2k-3)\\&=1+\dfrac {n-1}{2k-1},\end{split}\]于是$$b_n-\dfrac 32=\dfrac {n-\left(k+\dfrac 12\right)}{2k-1}.$$从而当 $n\leqslant k$ 时，$b_n-\dfrac 32<0$；当 $n\geqslant k+1$ 时 $b_n-\dfrac 32>0$．
因此\[\begin{split} T_k&=\sum \limits_{i=1}^{2k}\left|b_i-\dfrac 32\right|\\&= \sum \limits_{i=1}^{k}\left(\dfrac 32-b_i\right)+\sum \limits_{i=k+1}^{2k}\left(b_i-\dfrac 32\right)\\&=\dfrac {k^2}{2k-1}. \end{split}\]因为 $T_k\in \mathbb N^*$，所以$$(2k-1)|k^2,$$故$$(2k-1)|(4k^2-1+1),$$于是$$(2k-1)|1,$$故 $2k-1=1$，即 $k=1$．
因此所求 $k$ 的所有可能值为 $k=1$．
答案
解析
备注
