已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=\dfrac{(n+1)(2a_n-n)}{a_n+4n}$（$n\in\mathbb N^*$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $a_2,a_3,a_4$；标注答案$a_2=0$，$a_3=-\dfrac 34$，$a_4=-\dfrac 85$解析根据题意，有$$\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{2\cdot \dfrac{a_n}n-1}{\dfrac{a_n}n+4},$$令 $x_n=\dfrac{a_n}n$，可得$$x_{n+1}=\dfrac{2x_n-1}{x_n+4},x_1=\dfrac 12,$$利用不动点改造递推公式，可得$$\dfrac{1}{x_{n+1}+1}=\dfrac{1}{x_n+1}+\dfrac 13,$$因此可得 $x_n=\dfrac{3}{n+1}-1$，进而 $a_n=\dfrac{n(2-n)}{n+1}$，因此 $a_2=0$，$a_3=-\dfrac 34$，$a_4=-\dfrac 85$．
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已知存在实数 $k$，使得数列 $\left\{\dfrac{a_n+k\cdot n}{a_n+n}\right\}$ 为公差是 $-1$ 的等差数列，求 $k$ 的值；标注答案略解析根据题意，有$$\dfrac{a_n+k\cdot n}{a_n+n}=\dfrac{k-1}3n+\dfrac{k+2}3,$$因此当 $k=-2$ 时，该数列为公差是 $-1$ 的等差数列．
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记 $b_n=\dfrac{1}{3^{\frac {n+2}2}\cdot a_{n+2}}$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$S_n>-\dfrac{2\sqrt 3+1}{12}$．标注答案略解析根据题意，有$$b_n=\dfrac{-n-3}{\left(\sqrt 3\right)^{n+2}\cdot n(n+2)}=\dfrac 12\left[\dfrac{1}{\left(\sqrt 3\right)^{n+2}\cdot(n+2)}-\dfrac{1}{\left(\sqrt 3\right)^n\cdot n}\right],$$于是有$$S_n>\dfrac 12\left(-\dfrac{1}{\sqrt 3}-\dfrac 16\right)=-\dfrac{2\sqrt 3+1}{12}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
