求$$\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\right)^2+\left(\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\right)^2+\cdots +\left(\dfrac 1n\right)^2+\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\right)$$的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ 2n $
【解析】
考虑将 $n$ 个完全平方式展开后的和，包含两部分．第一部分是$$1^2\cdot 1+\dfrac 1{2^2}\cdot 2+\dfrac 1{3^2}\cdot 3+\cdots +\dfrac 1{n^2}\cdot n=1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n.$$第二部分是\[\begin{split} &2\cdot 1\cdot \left(\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\right)\cdot 1,\\
&2\cdot \dfrac 12\cdot \left(\dfrac 13+\dfrac 14+\cdots +\dfrac 1n\right)\cdot 2,\\
&\cdots \\
&2\cdot \dfrac{1}{n-1}\cdot \dfrac{1}{n}\cdot (n-1),\end{split}\]它们的和为$$2\left[\dfrac 12\cdot 1+\dfrac 13\cdot 2+\cdots +\dfrac 1n\cdot (n-1)\right].$$因此原式的值为$$2\left[1+\dfrac 12\cdot 2+\dfrac 13\cdot 3+\cdots +\dfrac 1n\cdot n\right]=2n.$$
&2\cdot \dfrac 12\cdot \left(\dfrac 13+\dfrac 14+\cdots +\dfrac 1n\right)\cdot 2,\\
&\cdots \\
&2\cdot \dfrac{1}{n-1}\cdot \dfrac{1}{n}\cdot (n-1),\end{split}\]它们的和为$$2\left[\dfrac 12\cdot 1+\dfrac 13\cdot 2+\cdots +\dfrac 1n\cdot (n-1)\right].$$因此原式的值为$$2\left[1+\dfrac 12\cdot 2+\dfrac 13\cdot 3+\cdots +\dfrac 1n\cdot n\right]=2n.$$
答案
解析
备注
