题目 （14分）设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且\[a_1 + a_2 = 4, \dfrac{2S_{n+1}+1}{2S_n + 1}=\dfrac{a_2}{a_1}=c(c>0, n \in \mathbb N^*).\] 问题1 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 由题意，可知\[\begin{split}&2S_{n+1} +1 = 2cS_n+c, \qquad \qquad \qquad \quad \text{ ① }\\&2S_n +1 = 2cS_{n-1} + c(n \geqslant 2), \qquad \qquad \text{ ② }\end{split}\]两式相减，得 $a_{n+1} = c \cdot a_n(n \geqslant 2)$，又 $\dfrac{a_2}{a_1} =c$，所以数列 $\{a_n\}$ 是公比为 $c$ 的等比数列．<br/>令 $2S_{n+1} +1 =2cS_n+c$ 中 $n=1$，得 $2(a_1+a_2)+1 = c(2a_1 +1)$，<br/>即\[2(a_1+a_1 c)+1 = c(2a_1 +1),\]即\[2a_1 +1 = c,\qquad \qquad \qquad \qquad \text{ ③ }\]又 $a_1 + a_2 = 4,$ 即\[a_1 +a_1 c= 4,\qquad \qquad \qquad \qquad \text{ ④ }\]③ 和 ④ 式联立，解得 $c=\pm 3$，又由题意 $c>0$，所以 $c=3, a_1 = 1$，所以 $a_n = 3^{n-1}(n \in \mathbb N^*)$． 解析1 备注1 问题2 令 $b_n = a_n \log_3a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$． 答案2 $T_n = \dfrac{(2n-3)3^n + 3}{4}$ 解析2 因为 $b_n = (n-1)3^{n-1}$，所以\[\begin{split}&T_n = 1 \cdot 3+2 \cdot 3^2 +3 \cdot 3^3+\cdots +(n-1)3^{n-1}, \qquad \text{ ⑤ }\\& 3T_n = 1 \cdot 3^2+2 \cdot 3^3 +3 \cdot 3^4+\cdots +(n-1)3^n, \qquad \text{ ⑥ }\end{split}\]⑤ $-$ ⑥，得\[\begin{split}-2T_n &= 3 + 3^2 + 3 ^3 + 3^4 + \cdots +3^{n-1} -(n-1)3^n, \\&=\dfrac{3(1-3^{n-1})}{1-3}-(n-1)3^n\\&=\dfrac{(-2n+3)3^n - 3}{2},\end{split}\]所以 $T_n = \dfrac{(2n-3)3^n + 3}{4}$． 备注2