已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$f(1)=\dfrac{10}{3}$，且对任意实数 $x,y$，恒有\[f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).\qquad \qquad \qquad \text{ ① }\]若数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=3f(n)-f(n-1),n \in \mathbb N^*$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=8\cdot3^{n-1}$解析在\text{ ① }式中令 $x=1,y=0$，得 $f(1)f(0)=2f(1)$，又 $f(1)=\dfrac{10}{3}$，所以 $f(0)=2$．
在\text{ ① }式中令 $x=n,y=1$，得\[f(n)f(1)=f(n+1)+f(n-1),\]所以\[f(n+1)=\dfrac{10}3f(n)-f(n-1).\]所以\[\begin{split}a_{n+1}&=3f(n+1)-f(n)\\&=9f(n)-3f(n-1)\\&=3\left[3f(n)-f(n-1)\right]\\&=3a_n.\end{split}\]又 $a_1=3f(1)-f(0)=8$，所以 $a_n=8\cdot3^{n-1}$． -
令 $b_n=\dfrac{24a_n}{(3a_n-8)^2}, n \in \mathbb N^*, S_n$ 是数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，求证：$S_n<1$．标注答案略解析$b_n=\dfrac{24a_n}{(3a_n-8)^2}=\dfrac{24\cdot 8 \cdot 3^{n-1}}{(3\cdot 8\cdot3^{n-1}-8)^2}=\dfrac{3^n}{(3^n-1)^2}$．容易证明：$3^k-1 \geqslant \dfrac 1 4\left(3^{k+1}-1\right)$ 对一切 $k \in \mathbb N^*$ 恒成立．从而可得\[b_k=\dfrac{3^k}{(3^k-1)^2} \leqslant \dfrac{4\cdot 3^k}{(3^k-1)(3^{k+1}-1)}=2\left(\dfrac 1{3^k-1}-\dfrac 1{3^{k+1}-1}\right),\]所以\[\begin{split}S_n&=b_1+b_2+\cdots+b_n \\&\leqslant 2\left[\left(\dfrac 1{3^1-1}-\dfrac 1{3^2-1}\right)+\left(\dfrac 1{3^2-1}-\dfrac 1{3^3-1}\right)+\cdots+\left(\dfrac 1{3^n-1}-\dfrac 1{3^{n+1}-1}\right)\right]\\&=2\left(\dfrac1{3^1-1}-\dfrac 1{3^{n+1}-1}\right)\\&=1-\dfrac 2{3^{n+1}-1}<1.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
