设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,S_n=2^n+r$（$r$ 为常数），记 $b_n=2(1+\log_2a_n)(n \in \mathbb N^*)$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_nb_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$；标注答案$T_n=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2(n \in \mathbb N^*)$解析由条件易知\[a_1=2+r,a_2=S_2-S_1=2,a_3=S_3-S_2=4,\]又由 $a_2^2=a_1a_3$ 得 $r=-1$．
于是 $S_n=2^n-1$．故\[a_n=2^{n-1},b_n=2(1+\log_2a_n)=2n,a_nb_n=n\cdot 2^n.\]因此\[T_n=1 \times 2^1+2\times 2^2+\cdots+(n-1)\times 2^{n-1}+n \times 2^n,\qquad \qquad \text{ ① }\]\[2T_n=1 \times 2^2+2\times 2^3+\cdots+(n-1)\times 2^n+n\times 2^{n+1}.\qquad \qquad \text{ ② }\]由\text{ ① }-\text{ ② }得：\[-T_n=2^1+2^2+\cdots+2^{n-1}+2^n-n\times 2^{n+1},\]故\[T_n=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2.\]所以，数列 $\{a_nb_n\}$ 的前 $n$ 项和为\[T_n=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2(n \in \mathbb N^*).\] -
若对于任意的正整数 $n$，都有 $\dfrac{1+b_1}{b_1}\cdot \dfrac{1+b_2}{b_2}\cdot \cdots \cdot \dfrac{1+b_n}{b_n}\geqslant k\sqrt{n+1}$ 成立，求实数 $k$ 的最大值．标注答案$\dfrac 3 4\sqrt 2$解析因为\[\begin{split}k&\leqslant \dfrac 1{\sqrt{n+1}}\cdot\dfrac{1+b_1}{b_1}\cdot \dfrac{1+b_2}{b_2}\cdot \cdots \cdot \dfrac{1+b_n}{b_n}\\&= \dfrac 1{\sqrt{n+1}}\cdot \dfrac{1+2}2\cdot \dfrac{1+4}4\cdot \cdots \cdot \dfrac{1+2n}{2n}.\end{split}\]构造\[f(n)=\dfrac 1 {\sqrt{n+1}}\cdot \dfrac{1+2}2\cdot \dfrac{1+4}4\cdot \cdots \cdot \dfrac{1+2n}{2n},\]则\[\dfrac{f(n+1)}{f(n)}=\dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}\cdot \dfrac{1+2(n+1)}{2(n+1)}=\sqrt{\dfrac{4n^2+12n+9}{4n^2+12n+8}}>1,\]于是 $\{f(n)\}$ 严格单增，则 $f(n)$ 的最小值为 $f(1)=\dfrac 3 4\sqrt 2$．
即实数 $k$ 的最大值是 $\dfrac 3 4\sqrt 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
