重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15227 5c74abd3210b284290fc22d0 高中 解答题 自招竞赛 令 $\displaystyle P\left( x \right)=24{{x}^{24}}+\sum\limits_{j=1}^{23}{\left( 24-j \right)\left( {{x}^{24-j}}+{{x}^{24+i}} \right)}$，设 ${{z}_{1}} {{z}_{2}} {{z}_{3}} \cdots {{z}_{r}}$ 为 $P\left( x \right)$ 所有不同的根．令 ${{z}_{k}}^{2}={{a}_{k}}+i{{b}_{k}}$，其中 $k=1 2 \cdots r$，$i=\sqrt{-1} {{a}_{k}} {{b}_{k}}$ 为实数．若 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{r}{\left| {{b}_{k}} \right|}=m+n\sqrt{p}$，其中 $m n p$ 为整数，$p$ 不能被任何素数的平方整除，求 $m+n+p$． 2022-04-17 19:47:11
15224 5c74b811210b28428f14cb81 高中 解答题 自招竞赛 乘积式 $\left( 1-x \right)\left( 1+2x \right)\left( 1-3x \right)\ldots \left( 1+14x \right)\left( 1-15x \right)$ 的展开式中 ${{x}^{2}}$ 项系数为 $C$，求 $\left| C \right|$ 。 2022-04-17 19:46:11
15217 5c75f9e1210b284290fc24b3 高中 解答题 自招竞赛 两个多项式 ${{Q}_{1}}\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( k-29 \right)x-k$ 和 ${{Q}_{2}}\left( x \right)=2{{x}^{2}}+\left( 2k-43 \right)x+k$ 都是某个三次多项式 $P\left( x \right)$ 的因式，求 $k$ 的最大值。 2022-04-17 19:43:11
15210 5c763c73210b284290fc256d 高中 解答题 自招竞赛 当 $t=1 ,2, 3, 4$ 时，定义 $\displaystyle {{S}_{t}}=\sum\limits_{i=1}^{350}{a_{i}^{t}}$，其中 ${{a}_{i}}\in \left\{ 1 ,2, 3, 4 \right\}$．如果 ${{S}_{1}}=513$ 具 ${{S}_{4}}=4745$，求 ${{S}_{2}}$ 的最小值． 2022-04-17 19:38:11
15200 5c90874d210b286d0745423a 高中 解答题 自招竞赛 非零整数 $a\text{,}b\text{,}r\text{,}s$ 满足复数 $r+si$ 是多项式 $P\left( x \right)\text{=}{{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+bx-65$ 的一个零点。对每种可能的 $a\text{,}b$ 的组合，记 ${{P}_{a\text{,}b}}$ 为 $P\left( x \right)$ 所有零点的和。求所有 ${{P}_{a\text{,}b}}$ 的和。 2022-04-17 19:33:11
15163 5ca5a67a210b28107f52ab6f 高中 解答题 自招竞赛 给定绝对值都不大于 $10$ 的整数 $a\text{,}b\text{,}c$，三次多项式 $f\left( x \right)\text{=}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ 满足条件 $\left| f\left( 2+\sqrt{3} \right) \right|\text{}0.0001$ 。问：$2+\sqrt{3}$ 是否一定是这个多项式的根？ 2022-04-17 19:10:11
15161 5cac179f210b2866bc014601 高中 解答题 自招竞赛 已知实系数多项式 $\varphi \left( x \right)\text{=}a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ 有三个正根，且 $\varphi \left( 0 \right)$ < $0$ 。求证：$2{{b}^{3}}+9{{a}^{2}}d-7abc\leqslant 0$ 2022-04-17 19:10:11
15106 5d07348f210b280220ed46da 高中 解答题 自招竞赛 求最大的实数 $\lambda$，使得当实系数多项式 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 的所有根都是非负实数时，只要 $x\geqslant 0$，就有 $f(x) \geqslant \lambda(x-a)^{3}$ 并问上式中等号何时成立？ 2022-04-17 19:38:10
15045 5ef870ab210b28017b0e2bea 高中 解答题 高中习题 设 $(3x^{\frac{1}{3}}+1)^n$ 展开式中的各项系数之和为 $A$，各项的二项式系数之和为 $B$，若 $A+B=272$，求展开式中的 $x$ 项的系数． 2022-04-17 19:05:10
15034 5f265b7e210b2865a678862c 高中 解答题 自招竞赛 若 $f\left(x\right)=x^5+px+q$ 有有理根，且正整数 $p,q$ 不大于 $100$，则满足条件的 $\left(p,q\right)$ 共有几组？ 2022-04-17 19:58:09
15019 6001346e210b281da1784b37 高中 解答题 自招竞赛 布兰克写了实系数二次多项式．序列每次操作是选择上一步操作的多项式 $ax^2 + bx +c$，再对于某些实数 $d$，要么写 $cx^2+bx + a$，要么写 $a(x + d)^2 +b(x+d)+c$．若起初多项式为 $x^2-2x-1$，则经过有限次操作后，布兰克能否得到多项式：
1．$2x^2-1$；
2．$2x^2-x-1$？		 2022-04-17 19:50:09
11645 5963396d3cafba000ac43f86 高中 填空题 自招竞赛 设展开式 $(5x+1)^n=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$，$n\geqslant 2011$．若 $a_{2011}=\max\{a_0,a_1,\cdots ,a_n\}$，则 $n=$  ． 2022-04-16 22:56:32
11606 596c116622d140000ac07fb2 高中 填空题 自招竞赛 设 $\displaystyle (1+x)^{16}=\sum\limits_{i=0}^{16}{a_ix^i}$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{8}{ia_i}=$  ． 2022-04-16 22:36:32
11594 59706a05dbbeff000aeab846 高中 填空题 高中习题 设 $\theta$ 是三次多项式 $f(x)=x^3-3x+10$ 的一个根，且 $\alpha=\dfrac{\theta^2+\theta-2}{2}$，若 $h(x)$ 是一个有理系数的二次多项式，满足条件 $h(\alpha)=\theta$，则 $h(0)=$  ． 2022-04-16 22:30:32
11588 597822aefcb236000b022bee 高中 填空题 自招竞赛 设 $n<100 $，则使得 $(a+b)^n$ 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 $n$ 为  ． 2022-04-16 22:27:32
11584 597959f1fcb2360008eabf0b 高中 填空题 自招竞赛 已知多项式 $(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+\cdots +(1+x)^n=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots +b_nx^n$，且 $b_1+b_2+\cdots +b_n=1013$，则正整数 $n$ 的一个可能值是 ． 2022-04-16 22:24:32
11566 59897c245a1cff000829c91e 高中 填空题 自招竞赛 若 $x^{5}+3x^{3}+1=a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x-1)^{2}+\cdots+a_{5}(x-1)^{5}$ 对任意实数 $x$ 都成立，则 $a_{3}$ 的值是 ．（用数字作答） 2022-04-16 22:15:32
11565 59897e425a1cff000829c963 高中 填空题 自招竞赛 若二项式 $\left(a\sqrt x-\dfrac {1}{\sqrt x}\right)^6$ 的展开式中的常数项为 $-160$，则 $\displaystyle \int^{a}_{0}(3x^2-1)\mathrm dx=$  ． 2022-04-16 22:14:32
11563 598a6e825a1cff0009ea234b 高中 填空题 自招竞赛 设 $a_n$ 是 $(3-\sqrt x)^n$（$n=2,3,\cdots$）的二项展开式中 $x$ 的系数，则 $\dfrac{3^2}{a_2}+\dfrac{3^3}{a_3}+\cdots +\dfrac{3^{18}}{a_{18}}$ 的值是 ． 2022-04-16 22:13:32
11562 598aa97640b385000cb72ea3 高中 填空题 自招竞赛 设 $\alpha,\beta$ 分别满足方程 $\alpha^3-3\alpha^2+5\alpha-4=0,\beta^3-3\beta^2+5\beta-2=0$，则 $\alpha+\beta=$  ． 2022-04-16 22:13:32
0.196269s