若二项式 $\left(a\sqrt x-\dfrac {1}{\sqrt x}\right)^6$ 的展开式中的常数项为 $-160$，则 $\displaystyle \int^{a}_{0}(3x^2-1)\mathrm dx=$ ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
因为\[\begin{split}T_{r+1}&=\mathrm C_6^r(a\sqrt x)^{6-r}\left(-\dfrac {1}{\sqrt x}\right)^r\\&=\mathrm C_6^r a^{6-r}(-1)^rx^{3-r}.\end{split}\]令 $3-r=0$，得 $r=3$，所以常数项为$$-\mathrm C_6^3a^3=-20a^3=-160,$$所以 $a^3=8$，$a=2$，因此$$\int^{a}_{0}(3x^2-1)\mathrm dx=(x^3-x)|_0^2=6.$$
题目
答案
解析
备注
