两个多项式 ${{Q}_{1}}\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( k-29 \right)x-k$ 和 ${{Q}_{2}}\left( x \right)=2{{x}^{2}}+\left( 2k-43 \right)x+k$ 都是某个三次多项式 $P\left( x \right)$ 的因式，求 $k$ 的最大值。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
30
【解析】
由于 $p\left( x \right)$ 有三个根，若 ${{Q}_{1}}\left( x\right)={{x}^{2}}+\left( k-29 \right)x-k$ 和 ${{Q}_{2}}\left( x\right)=2{{x}^{2}}+\left( 2x-43 \right)x+k$ 都是 $p\left( x \right)$ 的因式，则它必然有一个公共根 $r$ 。因此 ${{Q}_{1}}\left( r\right)={{Q}_{2}}\left( r \right)=0$ 故对任意常数 $m$，$n$ 有 $m{{Q}_{1}}\left( r\right)+n{{Q}_{{}}}\left( r \right)=0$ 。取 $m=2$ 和 $n=-1$ 得到 $15r+3k=0$，故 $r=\frac{-k}{5}$ 。故 ${{Q}_{1}}\left( r \right)=\frac{{{k}^{2}}}{25}-\left(k-29 \right)\left( \frac{k}{5} \right)-k=0$，这等价于 $4{{k}^{2}}-120k=0$，此方程的根为 $k=0$ 和 $k=30$ 。经检验，当 $k=30$ 时，多项式 ${{Q}_{1}}\left( x\right)={{x}^{2}}+x-30$ 和 ${{Q}_{2}}\left( x \right)=2{{x}^{2}}+17x+30$ 都是 $p\left( x \right)=\left( x+6\right)\left( x-5 \right)\left( 2x+5 \right)$ 的因式。故所求的 $k$ 值为 $30$ 。
答案
解析
备注
