给定绝对值都不大于 $10$ 的整数 $a\text{,}b\text{,}c$，三次多项式 $f\left( x \right)\text{=}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ 满足条件 $\left| f\left( 2+\sqrt{3} \right) \right|\text{}0.0001$ 。问：$2+\sqrt{3}$ 是否一定是这个多项式的根？
【难度】
【出处】
2007第6届CGMO试题
【标注】
【答案】
是
【解析】
将 $2+\sqrt{3}$ 代入得 $f\left(2+\sqrt{3} \right)\text{=}{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{3}}+a{{\left(2+\sqrt{3} \right)}^{2}}+b\left( 2+\sqrt{3} \right)+c\text{=}\left( 26+7a+2b+c\right)+\left( 15+4a+b \right)\sqrt{3}$ 。 设 $7a+2b+c+26\text{=}m$，$4a+b+15\text{=}n$，则 $\left|m \right|$ < $130$，$\left| n \right|\leqslant 65$ 。 故 $\left|m-n\sqrt{3} \right|\leqslant \left| m \right|+\left| n\sqrt{3} \right|$ < $260$ 。如果 $f\left(2+\sqrt{3} \right)\ne 0$，即 $m+n\sqrt{3}\ne 0$，由于 $m$、$n\in \mathbb{Z}$，$\sqrt{3}$ 是无理数，则 $m\ne0$ 且 $n\ne 0$ 。由此，$m-n\sqrt{3}\ne 0$ 。所以，${{m}^{2}}-3{{n}^{2}}\ne 0$，$\left|{{m}^{2}}-3{{n}^{2}} \right|\geqslant 1$ 。则 $\left| f\left( 2+\sqrt{3} \right)\right|\text{=}\left| m+n\sqrt{3} \right|\text{=}\left| \frac{\left(m-n\sqrt{3} \right)\left( m+n\sqrt{3} \right)}{m-n\sqrt{3}}\right|\text{=}\left| \frac{{{m}^{2}}-3{{n}^{2}}}{m-n\sqrt{3}} \right|\geqslant\left| \frac{1}{m-n\sqrt{3}} \right|$ > $\frac{1}{260}$，矛盾。因此，$2+\sqrt{3}$ 一定是上述多项式的根。
答案
解析
备注
