设 $a_n$ 是 $(3-\sqrt x)^n$（$n=2,3,\cdots$）的二项展开式中 $x$ 的系数，则 $\dfrac{3^2}{a_2}+\dfrac{3^3}{a_3}+\cdots +\dfrac{3^{18}}{a_{18}}$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2010年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$17$
【解析】
因为 $a_n={\rm C}_n^2\cdot 3^{n-2}$，所以\[\begin{split}\dfrac{3^n}{a_n}&=\dfrac{3^n}{{\rm C}_n^2\cdot 3^{n-2}}\\&=3^2\cdot \dfrac{2}{n(n-1)}\\&=\dfrac{18}{n(n-1)}.\end{split}\]从而\[\begin{split}\dfrac{3^2}{a_2}+\dfrac{3^3}{a_3}+\cdots +\dfrac{3^{18}}{a_{18}}&=18\left(\dfrac 1{2\times 1}+\dfrac{1}{3\times 2}+\cdots +\dfrac{1}{18\times 17}\right)\\&=17.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
