查看数据源：5c90874d210b286d0745423a
非零整数 $a\text{,}b\text{,}r\text{,}s$ 满足复数 $r+si$ 是多项式 $P\left( x \right)\text{=}{{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+bx-65$ 的一个零点。对每种可能的 $a\text{,}b$ 的组合，记 ${{P}_{a\text{,}b}}$ 为 $P\left( x \right)$ 所有零点的和。求所有 ${{P}_{a\text{,}b}}$ 的和。
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    多项式
    >
    多项式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    多项式函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
【答案】
080
【解析】
因为 $r+si$ 为方程的根，所以其共轭 $r-si$ 为方程另一复根。设方程的实根 $q$，则 $\left(x-q \right)\left( x-r-si \right)\left( x-r+si\right)\text{=}{{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+bx-65$，$\left( x-q \right)\left({{x}^{2}}-2rx+\left( {{r}^{2}}+{{s}^{2}} \right)\right)\text{=}{{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+bx-65$，对比等式两边系数，则 $\begin{align}
& q\left({{r}^{2}}+{{s}^{2}} \right)\text{=}65 \\
&b\text{=}{{r}^{2}}+{{s}^{2}}+2rq \\
&a\text{=}q+2r \\
\end{align}$ 。 由韦达定理，${{p}_{a\text{,}b}}\text{=}a$ 。我们下面找出所有可能的 $q\text{,}r\text{,}s$ 从而确定 $a\text{,}b$ 。
$q\text{=}1$ 时，${{r}^{2}}+{{s}^{2}}\text{=}65$，故 $\left( r\text{,}s \right)\text{=}\left(\pm 1,\pm 8 \right)\text{,}\left( \pm 8,\pm 1 \right)\text{,}\left( \pm 4,\pm 7\right)\text{,}\left( \pm 7,\pm 4 \right)$
$q\text{=5}$ 时，${{r}^{2}}+{{s}^{2}}\text{=13}$，故 $\left(r\text{,}s \right)\text{=}\left( \pm 2,\pm 3 \right)\text{,}\left( \pm 3,\pm 2\right)$
$q\text{=}13$ 时，${{r}^{2}}+{{s}^{2}}\text{=5}$，故 $\left(r\text{,}s \right)\text{=}\left( \pm 1,\pm 2 \right)\text{,}\left( \pm 2,\pm 1\right)$
由于对于每个 $q$，${{p}_{a\text{,}b}}\text{=}a$ 之和为所有可能的 $r$ 的个数的 $q$ 倍
所求答案为 $1\cdot 8+5\cdot 4+13\cdot 4\text{=}080$
答案 解析 备注
0.125734s