设 $\displaystyle (1+x)^{16}=\sum\limits_{i=0}^{16}{a_ix^i}$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{8}{ia_i}=$ ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛新疆省预赛
【标注】
【答案】
$262144$
【解析】
根据二项式定理：$$a_i=\mathrm{C}_{16}^{i} , i=0,1,\cdots,16,$$所以$$ia_i=i\mathrm{C}_{16}^{i }=16\mathrm{C}_{15}^{i-1},$$故$$\sum\limits_{i=1}^{8}{ia_i}=\sum\limits_{i=1}^{8}{16\mathrm{C}_{15}^{i-1}}=16\sum\limits_{k=0}^{7}{\mathrm{C}_{15}^{k}}=8\cdot 2^{15}=262144.$$
题目
答案
解析
备注
