当 $t=1 ,2, 3, 4$ 时，定义 $\displaystyle {{S}_{t}}=\sum\limits_{i=1}^{350}{a_{i}^{t}}$，其中 ${{a}_{i}}\in \left\{ 1 ,2, 3, 4 \right\}$．如果 ${{S}_{1}}=513$ 具 ${{S}_{4}}=4745$，求 ${{S}_{2}}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
905
【解析】
对于 $j=1 2 3 4$，设 ${{m}_{j}}$ 是所有的 ${{a}_{i}}$ 中等于 $j$ 的个数，则
${{m}_{1}}\text{+}{{m}_{2}}+{{m}_{3}}+{{m}_{4}}=350$，
${{S}_{1}}={{m}_{1}}+2{{m}_{2}}+3{{m}_{3}}+4{{m}_{4}}=513$，
${{S}_{4}}={{m}_{1}}+{{2}^{4}}{{m}_{2}}+{{3}^{4}}{{m}_{3}}+{{4}^{4}}{{m}_{4}}\text{=}4745$．
分别将第二、三个方程减去第一个方程得
${{m}_{2}}+2{{m}_{3}}+3{{m}_{4}}=163$，
$15{{m}_{2}}+80{{m}_{3}}+255{{m}_{4}}\text{=}4395$．
再将得到的两方程消去 ${{m}_{2}}$，整理后得到 $5{{m}_{3}}+21{{m}_{4}}\text{=}195$，于是，${{m}_{4}}$ 必是5的非负倍数，故 ${{m}_{4}}$ 等于0或5．若 ${{m}_{4}}=0$，则 $\left( {{m}_{1}} ,{{m}_{2}}, {{m}_{3}} ,{{m}_{4}} \right)=\left( 266, 85, 39, 0 \right)$，
此时 ${{S}_{2}}={{1}^{2}}\cdot85\text{+}{{3}^{2}}\cdot 39\text{+}{{4}^{2}}\cdot 0\text{=}917$；若 ${{m}_{4}}=5$，则 $\left( {{m}_{1}}, {{m}_{2}}, {{m}_{3}} ,{{m}_{4}} \right)=\left( 215 ,112, 18, 5 \right)$，此时 ${{S}_{2}}={{1}^{2}}\cdot215+{{2}^{2}}\cdot 112+{{3}^{2}}\cdot 18+{{4}^{2}}\cdot 5=905$．
故 ${{S}_{2}}$ 的最小值为905．
${{m}_{1}}\text{+}{{m}_{2}}+{{m}_{3}}+{{m}_{4}}=350$，
${{S}_{1}}={{m}_{1}}+2{{m}_{2}}+3{{m}_{3}}+4{{m}_{4}}=513$，
${{S}_{4}}={{m}_{1}}+{{2}^{4}}{{m}_{2}}+{{3}^{4}}{{m}_{3}}+{{4}^{4}}{{m}_{4}}\text{=}4745$．
分别将第二、三个方程减去第一个方程得
${{m}_{2}}+2{{m}_{3}}+3{{m}_{4}}=163$，
$15{{m}_{2}}+80{{m}_{3}}+255{{m}_{4}}\text{=}4395$．
再将得到的两方程消去 ${{m}_{2}}$，整理后得到 $5{{m}_{3}}+21{{m}_{4}}\text{=}195$，于是，${{m}_{4}}$ 必是5的非负倍数，故 ${{m}_{4}}$ 等于0或5．若 ${{m}_{4}}=0$，则 $\left( {{m}_{1}} ,{{m}_{2}}, {{m}_{3}} ,{{m}_{4}} \right)=\left( 266, 85, 39, 0 \right)$，
此时 ${{S}_{2}}={{1}^{2}}\cdot85\text{+}{{3}^{2}}\cdot 39\text{+}{{4}^{2}}\cdot 0\text{=}917$；若 ${{m}_{4}}=5$，则 $\left( {{m}_{1}}, {{m}_{2}}, {{m}_{3}} ,{{m}_{4}} \right)=\left( 215 ,112, 18, 5 \right)$，此时 ${{S}_{2}}={{1}^{2}}\cdot215+{{2}^{2}}\cdot 112+{{3}^{2}}\cdot 18+{{4}^{2}}\cdot 5=905$．
故 ${{S}_{2}}$ 的最小值为905．
答案
解析
备注
