已知多项式 $(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+\cdots +(1+x)^n=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots +b_nx^n$，且 $b_1+b_2+\cdots +b_n=1013$，则正整数 $n$ 的一个可能值是 ．
【难度】
【出处】
2009年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$9$
【解析】
取 $x=0$，得 $b_0=n$．
取 $x=1$，得$$2+2^2+\cdots +2^n=b_0+b_1+\cdots +b_n,$$即$$\dfrac{2(1-2^n)}{1-2}=2(2^n-1)=n+1013,$$解得 $n=9$
取 $x=1$，得$$2+2^2+\cdots +2^n=b_0+b_1+\cdots +b_n,$$即$$\dfrac{2(1-2^n)}{1-2}=2(2^n-1)=n+1013,$$解得 $n=9$
题目
答案
解析
备注
