设 $n<100 $，则使得 $(a+b)^n$ 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 $n$ 为 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$98$
【解析】
设 $(a+b)^n$ 的展开式中有连续三项的系数分别为 $\mathrm C_n^{k-1}$，$\mathrm C_n^{k}$，$\mathrm C_n^{k+1}$（$1\leqslant k \leqslant n-1$）．
由题意得$$2\mathrm C_n^{k}=\mathrm C_n^{k-1}+\mathrm C_n^{k+1},$$依组合数定义展开并整理得$$n^2-(4k+1)n+4k^2-2=0,$$故$$n_{1,2}=\dfrac {4k+1\pm \sqrt {8k+9}}{2}(n_{1,2}\in \mathbb N^*).\quad \cdots\cdots \text{ ① }$$设 $8k+9=(2m+1)^2$，则$$2k=m^2+m-2,$$代入 ①，得$$n_1=(m+1)^2-2,\quad n_2=m^2-2.$$由$$(m+1)^2-2<100,$$得 $n=98$．
由题意得$$2\mathrm C_n^{k}=\mathrm C_n^{k-1}+\mathrm C_n^{k+1},$$依组合数定义展开并整理得$$n^2-(4k+1)n+4k^2-2=0,$$故$$n_{1,2}=\dfrac {4k+1\pm \sqrt {8k+9}}{2}(n_{1,2}\in \mathbb N^*).\quad \cdots\cdots \text{ ① }$$设 $8k+9=(2m+1)^2$，则$$2k=m^2+m-2,$$代入 ①，得$$n_1=(m+1)^2-2,\quad n_2=m^2-2.$$由$$(m+1)^2-2<100,$$得 $n=98$．
题目
答案
解析
备注
