若 $x^{5}+3x^{3}+1=a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x-1)^{2}+\cdots+a_{5}(x-1)^{5}$ 对任意实数 $x$ 都成立，则 $a_{3}$ 的值是 ．（用数字作答）
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$13$
【解析】
在 $x^{5}+3x^{2}+1=\left[(x+1)+1\right]^{5}+3\left[(x-1)+1\right]^{3}+1$ 在展开式中，$(x-1)^{3}$ 项的系数为 ${\rm C}_{5}^{2}+3=13$，所以 $a_{3}=13$．
题目
答案
解析
备注
