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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15704 590ad3046cddca000a081a41 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=4\sin^3x\cos x-2\sin x\cos x-\dfrac 12\cos 4x$． 2022-04-17 19:10:16
15692 590bd2ea6cddca00078f3a6b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 都是二次函数，方程 $3f(x)+g(x)=0$ 和方程 $f(x)-g(x)=0$ 都只有一个重根，方程 $f(x)=0$ 有两个不等实根．证明：方程 $g(x)=0$ 没有实数根． 2022-04-17 19:03:16
15691 590bd90c6cddca0008610ff2 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f\left( x \right)$ 的反函数为 ${f^{ - 1}}\left( x \right)$，$g\left( x \right)$ 的反函数为 ${g^{ - 1}}\left( x \right)$． 2022-04-17 19:03:16
15672 590fc6cc857b4200085f862e 高中 解答题 自招竞赛 设 $f_k(x)=\dfrac 1k\left(\sin^2x-\cos kx\right)$，求证：不存在 $m,n\in\mathbb N^*$ 且 $m>n$，使 $f_m(x)-f_n(x)$ 为恒定常数． 2022-04-17 19:53:15
15658 59101b6e857b42000aca395c 高中 解答题 自招竞赛 设 $3$ 次多项式 $f\left( x \right)$ 满足：$f\left( {x + 2} \right) = - f\left( { - x} \right)$，$f\left( 0 \right) = 1$，$f\left( 3 \right) = 4$，试求 $f\left( x \right)$． 2022-04-17 19:44:15
15640 59126a84e020e7000a7989f1 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f\left( x \right) = \left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right|$，试讨论 $f\left( x \right)$ 的性质（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在 $\left[ {0,2{\mathrm{\pi }}} \right]$ 内的图像． 2022-04-17 19:34:15
15614 5912aae3e020e70007fbee00 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f\left( x \right)$ 是定义在 $\left[ { - 4 , + \infty } \right)$ 上的单调增函数，要使得对于一切的实数 $x$，不等式 $f\left( {\cos x - {b^2}} \right) \geqslant f\left( {{{\sin }^2}x - b - 3} \right)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围． 2022-04-17 19:18:15
15555 5960e7983cafba00083371cd 高中 解答题 高中习题 已知圆周率 $\pi$ 是无理数，函数 $f(x)=\sin x+\sin (\pi x)$，求证：$f(x)$ 不是周期函数． 2022-04-17 19:44:14
15494 59685e4222d14000072f84ec 高中 解答题 自招竞赛 证明：定义在 $mathbb R$ 上的奇函数 $f(x)$ 能表示为一个周期函数与一个线性函数之和的充分必要条件是 $f(x)$ 的图象有异于点 $(0,0)$ 的对称中心 $(a,b)$．（注：线性函数是指形如 $y=kx+h$，$k$ 和 $h$ 可为任意实数的函数） 2022-04-17 19:10:14
15492 59686e2e22d14000081815ea 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a,b$ 满足 $3^a+13^b=17^a$，$5^a+7^b=11^b$，证明：$a<b$． 2022-04-17 19:08:14
15486 5968835722d140000ac07f0a 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=x^{2}-(k^{2}-5ak+3)x+7, a,k\in\mathbb R$，已知对于任意的 $k\in[0,2]$，若 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}\in[k,k+a],x_{2}\in [k+2a,k+4a]$，则 $f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$，求正实数 $a$ 的最大值． 2022-04-17 19:05:14
15449 597069b4dbbeff0009d29f16 高中 解答题 高中习题 判断函数 $f(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x+2$ 的对称性． 2022-04-17 19:47:13
15437 59794ae6fcb236000b022c72 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a>b>c)$ 的图象上有两点 $A(m_1,f(m_1)),B(m_2,f(m_2))$ 满足 $a^2+[f(m_1)+f(m_2)]a+f(m_1)f(m_2)=0$，$f(1)=0$． 2022-04-17 19:41:13
15401 597edeaed05b900009165322 高中 解答题 高中习题 设函数 $f\left( x \right) = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$，其中 $\omega > 0$，$\varphi \in {\mathbb{R}}$，若存在常数 $T$（$T < 0$），使对任意 $x \in {\mathbb{R}}$ 有 $f\left( {x + T} \right) = T\cdot f\left( x \right)$，则 $\omega $ 可取到的最小值是多少？ 2022-04-17 19:21:13
15387 59881dfe5ed01a0008fa5f71 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)$ 是定义在 $[1,+\infty)$ 上的增函数，且关于 $x$ 的不等式 $f(k-\cos^{2}x)\leqslant f(k^{2}+\sin x)$ 恒成立．求实数 $k$ 的取值范围． 2022-04-17 19:11:13
15371 59896d0b5a1cff0007a8cb48 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正实数对 $(a,b)$，使得函数 $f(x)=ax^{2}+b$ 满足：对任意实数 $x,y$，有\[f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)f(y).\] 2022-04-17 19:02:13
15353 598bfad6de229f000aa425e6 高中 解答题 自招竞赛 解不等式$$\log_2(x^{12}+3x^{10}+5x^8+3x^5+1)<1+\log_2(x^4+1).$$ 2022-04-17 19:53:12
15333 599a4f0f5c8103000906ced0 高中 解答题 自招竞赛 设定义在 $[0,2]$ 上的函数 $f(x)$ 满足下列条件：
① 对于 $x\in [0,2]$，总有 $f(2-x)=f(x)$，且 $f(x)\geqslant 1,f(1)=3$；
② 对于 $x,y\in [1,2]$，若 $x+y\geqslant 3$，则$$f(x)+f(y)\leqslant f(x+y-2)+1.$$证明：		 2022-04-17 19:42:12
15290 5a26395af25ac10009ad6f01 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $y=f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1+x}$． 2022-04-17 19:21:12
15270 5c6a3ef5210b281db9f4c71f 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f$ 定义在实数域上，并满足如下条件：对任何实数 $x$，$f\left( 2+x \right)=f\left( 2-x \right)$，而且 $f\left( 7+x \right)=f\left( 7-x \right)$．如果 $x=0$ 是 $f\left( x \right)=0$ 的一个根，$f\left( x \right)=0$ 在区间 $-1000\leqslant x\leqslant 1000$ 中至少应有几个根？ 2022-04-17 19:11:12
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