设 $3$ 次多项式 $f\left( x \right)$ 满足：$f\left( {x + 2} \right) = - f\left( { - x} \right)$，$f\left( 0 \right) = 1$，$f\left( 3 \right) = 4$，试求 $f\left( x \right)$．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学保送生测试题
【标注】
【答案】
$f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 1$
【解析】
由$$f\left( {x + 2} \right) + f\left( { - x} \right) = 0,$$有 $f\left( x \right)$ 关于点 $\left( {1,0} \right)$ 对称．于是$$f\left( x \right) = a{\left( {x - 1} \right)^3} + b\left( {x - 1} \right).$$因此$$\begin{cases}
- a - b = 1 ,\\
8a + 2b = 4 ,\\
\end{cases}$$解得 $a = 1$，$b = - 2$．于是\[f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3} - 2\left( {x - 1} \right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 1.\]
- a - b = 1 ,\\
8a + 2b = 4 ,\\
\end{cases}$$解得 $a = 1$，$b = - 2$．于是\[f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3} - 2\left( {x - 1} \right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 1.\]
答案
解析
备注
