设函数 $f(x)=x^{2}-(k^{2}-5ak+3)x+7, a,k\in\mathbb R$，已知对于任意的 $k\in[0,2]$，若 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}\in[k,k+a],x_{2}\in [k+2a,k+4a]$，则 $f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$，求正实数 $a$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt 6-4}{5}$
【解析】
由于二次函数$$f(x)=x^{2}-(k^{2}-5ak+3)x+7$$的对称轴为$$x=\dfrac{k^{2}-5ak+3}{2},$$故题设条件等价于对任意的 $k\in[0,2]$，均有\[\dfrac{k^{2}-5ak+3}{2}\geqslant k+\dfrac{5}{2}a\cdots\cdots \text{ ① }\]即对任意的 $k\in[0,2]$ 均有\[5a\leqslant \dfrac{k^{2}-2k+3}{k+1},\]所以\[5a\leqslant \min\limits_{0\leqslant k\leqslant 2}\left\{\dfrac{k^{2}-2k+2}{k+1}\right\}.\]又\[\begin{split}\dfrac{k^{2}-2k+3}{k+1}&=(k+1)+\dfrac{6}{k+1}-4\\&\geqslant 2\sqrt{(k+1)\cdot \dfrac{6}{k+1}}-4\\&=2\sqrt 6-4,\end{split}\]当且仅当 $k=\sqrt 6-1$ 时取等号，故\[\min\limits_{0\leqslant k\leqslant 2}\left\{\dfrac{k^{2}-2k+3}{k+1}\right\}=2\sqrt 6-4.\]所以，正实数 $a$ 的最大值为 $\dfrac{2\sqrt 6-4}{5}$．
答案
解析
备注
