设实数 $a,b$ 满足 $3^a+13^b=17^a$，$5^a+7^b=11^b$，证明：$a<b$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设 $a\geqslant b$，则$$13^a\geqslant13^b,5^a\geqslant5^b.$$由 $3^a+13^b=17^a$，得 $3^a+13^a\geqslant17^a$，即$$\left(\dfrac{3}{17}\right)^a+\left(\dfrac{13}{17}\right)^a\geqslant1,$$由于 $f(x)=\left(\dfrac{3}{17}\right)^x+\left(\dfrac{13}{17}\right)^x$ 单调递减，故$$f(1)=\dfrac{3}{17}+\dfrac{13}{17}=\dfrac{16}{17}<1,$$且 $f(a)\geqslant1>f(1)$，故 $a<1$．
由 $5^a+7^b=11^b$，得 $5^b+7^b\leqslant 11^b$，即$$\left(\dfrac{5}{11}\right)^b+\left(\dfrac{7}{11}\right)^b\leqslant1,$$由于 $g(x)=\left(\dfrac{5}{11}\right)^x+\left(\dfrac{7}{11}\right)^x$ 单调递减，故$$g(1)=\dfrac{5}{11}+\dfrac{7}{11}=\dfrac{12}{11}>1,$$且 $g(b)\leqslant1<g(1)$，因此 $b>1$．
因此，$a<1<b$，与 $a\geqslant b$ 矛盾，所以 $a<b$．
由 $5^a+7^b=11^b$，得 $5^b+7^b\leqslant 11^b$，即$$\left(\dfrac{5}{11}\right)^b+\left(\dfrac{7}{11}\right)^b\leqslant1,$$由于 $g(x)=\left(\dfrac{5}{11}\right)^x+\left(\dfrac{7}{11}\right)^x$ 单调递减，故$$g(1)=\dfrac{5}{11}+\dfrac{7}{11}=\dfrac{12}{11}>1,$$且 $g(b)\leqslant1<g(1)$，因此 $b>1$．
因此，$a<1<b$，与 $a\geqslant b$ 矛盾，所以 $a<b$．
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