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已知 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 都是二次函数，方程 $3f(x)+g(x)=0$ 和方程 $f(x)-g(x)=0$ 都只有一个重根，方程 $f(x)=0$ 有两个不等实根．证明：方程 $g(x)=0$ 没有实数根．
【难度】
【出处】
2014年北京大学等三校联考自主招生试题
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    函数与方程
    >
    函数基本性质
  • 知识点
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    函数
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    常见初等函数
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    二次函数
  • 知识点
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    函数
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    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
【答案】
略
【解析】
设函数 $A\left( x \right) = 3f\left( x \right) + g\left( x \right)$，$B\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$，则函数 $A\left( x \right)$、$B\left( x \right)$ 均为二次函数，此时\[4f\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right).\]考虑到方程 $f\left( x \right) = 0$ 有两个不等实根，于是方程 $A\left( x \right) + B\left( x \right) = 0$ 有两个不等实根．
因此抛物线 $y = A\left( x \right)$，$y = B\left( x \right)$ 的开口方向必然不同，且零点亦不相同．
于是\[g\left( x \right) = \dfrac{{A\left( x \right) - 3B\left( x \right)}}{4}\]必然恒大于 $0$ 或恒小于 $0$．
因此原命题得证．
答案 解析 备注
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