已知 $f\left( x \right)$ 的反函数为 ${f^{ - 1}}\left( x \right)$，$g\left( x \right)$ 的反函数为 ${g^{ - 1}}\left( x \right)$．
【难度】
【出处】
2014年清华大学等五校联考自主招生试题
【标注】
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求证：$f\left( {g\left( x \right)} \right)$ 的反函数为 ${g^{ - 1}}\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)$；标注答案略解析设 $g\left( a \right) = b$，$f\left( b \right) = c$，则\[f\left( {g\left( a \right)} \right) = c,a = {g^{ - 1}}\left( b \right),b = {f^{ - 1}}\left( c \right),\]于是 $a = {g^{ - 1}}\left( {{f^{ - 1}}\left( c \right)} \right)$．因此 $f\left( {g\left( x \right)} \right)$ 的反函数为 ${g^{ - 1}}\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right)$．
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设 $F(x)=f(-x)$，$G(x)=f^{-1}(-x)$，若 $F$ 与 $G$ 互为反函数，则 $f(x)$ 为奇函数．标注答案略解析设 $y=G(x)=f^{-1}(-x)$，则 $-x=f(y)\Rightarrow x=-f(y)$，所以有 $G^{-1}(x)=-f(x)=F(x)$．
所以有 $F(x)=f(-x)=-f(x)$，即 $f(x)$ 为奇函数．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
