证明：定义在 $mathbb R$ 上的奇函数 $f(x)$ 能表示为一个周期函数与一个线性函数之和的充分必要条件是 $f(x)$ 的图象有异于点 $(0,0)$ 的对称中心 $(a,b)$．（注：线性函数是指形如 $y=kx+h$，$k$ 和 $h$ 可为任意实数的函数）
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为点 $(a_1,b_1)$ 与点 $(a_2,b_2)$ 关于点 $(a,b)$ 对称等价于$$a=\dfrac{a_1+a_2}{2},b=\dfrac{b_1+b_2}{2}.$$所以，函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(a,b)$ 对称等价于图象上任意两点 $(x_1,f(x_1))$，$(x_2,f(x_2))$，若有 $x_1+x_2=2a$，则 $f(x_1)+f(x_2)=2b$．
充分性：
显然，$a\ne 0$，否则 $b=0$，矛盾．
令 $f(x)=\varphi(x)+kx+h$，则有\[\begin{split}\varphi(2a+x)&=f(2a+x)-k(2a+x)-h\\&=2b-f(-x)-kx-h-2ak\\&=f(x)-kx-h+2b-2ak\\&=\varphi(x)+2(b-ak),\end{split}\]所以，只要令 $k=\dfrac ba$，则对任意的 $x\in \mathbb R$，有 $\varphi(2a+x)=\varphi(x)$，即 $\varphi(x)$ 是一个以 $2a$ 为周期的周期函数，充分性得证．
必要性：
已知奇函数 $f(x)=\varphi(x)+kx+h$，其中 $\varphi(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数．
令 $a=\dfrac T2$，即 $T=2a$，则\[\begin{split}f(a+x)&=\varphi(a+x)+k(a+x)+h\\&=\varphi[T-(a-x)]+k(a+x)+h\\&=\varphi(x-a)+k(a+x)+h\\&=f(x-a)-k(x-a)-h+k(a+x)+h\\&=-f(a-x)+2ak,\end{split}\]即$$f(a+x)+f(a-x)=2ak,$$其中 $a=\dfrac T2 \ne 0$．
由此可知 $f(x)$ 的图象有异于点 $(0,0)$ 的对称中心 $(a,ak)$，必要性得证．
充分性：
显然，$a\ne 0$，否则 $b=0$，矛盾．
令 $f(x)=\varphi(x)+kx+h$，则有\[\begin{split}\varphi(2a+x)&=f(2a+x)-k(2a+x)-h\\&=2b-f(-x)-kx-h-2ak\\&=f(x)-kx-h+2b-2ak\\&=\varphi(x)+2(b-ak),\end{split}\]所以，只要令 $k=\dfrac ba$，则对任意的 $x\in \mathbb R$，有 $\varphi(2a+x)=\varphi(x)$，即 $\varphi(x)$ 是一个以 $2a$ 为周期的周期函数，充分性得证．
必要性：
已知奇函数 $f(x)=\varphi(x)+kx+h$，其中 $\varphi(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数．
令 $a=\dfrac T2$，即 $T=2a$，则\[\begin{split}f(a+x)&=\varphi(a+x)+k(a+x)+h\\&=\varphi[T-(a-x)]+k(a+x)+h\\&=\varphi(x-a)+k(a+x)+h\\&=f(x-a)-k(x-a)-h+k(a+x)+h\\&=-f(a-x)+2ak,\end{split}\]即$$f(a+x)+f(a-x)=2ak,$$其中 $a=\dfrac T2 \ne 0$．
由此可知 $f(x)$ 的图象有异于点 $(0,0)$ 的对称中心 $(a,ak)$，必要性得证．
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