无

略

一方面，我们取 $a=1,b=-1,c=1$，对任意整数 $k$，有$$\left(\dfrac{k(k+1)}{2}\right)^2-\left(\dfrac{k(k+1)}{2}+1\right)^2+(k+1)^2=k.$$注意 $\dfrac{k(k+1)}{2}$ 是整数，故此时满足条件．这表明 $\min\{a,b,c\}$ 可以是 $-1$．
其次，我们证明 $\min\{a,b,c\}\leqslant-1$．
用反证法，设 $a,b,c$ 均为非负整数，令 $n=1$ 知，$a,b,c$ 中有一个为 $1$，不妨设 $a=1$．
再令 $n=2$ 知，$b,c$ 中有一个为 $1$ 或 $2$，不妨设 $b\leqslant c$，则 $b\le2$．
若 $b=0$，显然 $c\ne0,c\ge1$．我们考虑 $x^2+cz^2$ 能表示全体不超过 $4$ 的正整数，我们必然有如下形式：$1,4,c,1+c,4c$．
由于 $2$ 可以被表示，$c\ge1$，故 $2$ 只能被 $c,1+c$ 其中之一表示，故 $c\in\{1,c\}$．
$3$ 只能被 $1+c$ 其中之一表示，故 $c=2$．但 $x^2+2z^2$ 不能表示 $5$．矛盾．
若 $b=1$，我们考虑 $x^2+y^2+cz^2$ 能表示全体不超过 $7$ 的正整数，我们必然具有如下形式：$1,2,4,5,c,1+c,2+c,4+c,5+c,4c,1+4c,2+4c$．
由于 $3$ 可以被表示，$c\ge1$，故 $3$ 只能被 $c$，$1+c$，$2+c$ 其中之一表示，故 $c\in\{1,2,3\}$．$6$ 只能被 $4+c$，$5+c$，$2+4c$ 其中之一表示，故 $c\in\{1,2\}$．
$7$ 只能被 $5+c$ 表示，故 $c=2$，但 $x^2+y^2=2z^2$ 不能表示 $14$，矛盾．
若 $b=2$，我们考虑 $x^2+2y^2+cz^2$ 能表示全体不超过 $10$ 的正整数，我们必然具有如下形式 $1,2,3,4,6,8,9,c,1+c,3+c,4+c,8+c,4c,1+4c,2+4c$．
由于 $7$ 可以被表示，$c\ge2$，故 $7$ 只能被 $c,1+c,2+c,3+c,4+c$ 其中之一表示，故 $c\in\{3,4,5,6,7\}$．
$5$ 只能被 $c,1+c,2+c$ 其中之一表示，故 $c\in\{3,4,5\}$．
$10$ 只能被 $6+c$ 表示，故 $c=4$，但 $x^2+2y^2+4z^2$ 不能表示 $14$，矛盾．
故 $\min\{a,b,c\}\leqslant -1$．这表明其最大可能值为 $-1$．