设 $a_{i} \geqslant 0, x_{i} \in \mathbf{R}, i=1,2, \cdots, n$．证明：$\displaystyle \left[\left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2}+\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2}\right]^{2} \geqslant 4\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{3}$．
【难度】
【出处】
2017第16届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
若 $\displaystyle 1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{n} \leqslant 0$，则命题成立．若 $\displaystyle 1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{n} \geqslant 0$，则有
$\displaystyle \left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2} \geqslant\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sin ^{2} x_{i}\right)$
$\displaystyle \left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2} \geqslant\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cos ^{2} x_{i}\right)$
于是 $\displaystyle \left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2}+\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2}\geqslant\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(2-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) \geqslant 2\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{\frac{3}{2}}$
故 $\displaystyle \left[\left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2}+\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2}\right]^{2} \geqslant 4\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{3}$．
证法二
令 $\alpha=(1,1), \alpha_{k}=\left(-a_{k} \sin x_{k},-a_{k} \cos x_{k}\right)$，则 $\displaystyle \left|\alpha+\sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_{k}\right| \geqslant|\alpha|-\sum_{k=1}^{n}\left|\alpha_{k}\right|=\sqrt{2}-\sum_{k=1}^{n} a_{k}$．
若 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}>1$，则命题成立．若 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}=r \leqslant 1$，则 $\displaystyle \left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2}+\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2} \geqslant(\sqrt{2}-r)^{4}$．
于是，只需证明当 $0 \leqslant r \leqslant 1$ 时，$(\sqrt{2}-r)^{4} \geqslant 4(1-r)^{3}$．
上式 $\Leftrightarrow r^{4}-4 \sqrt{2} r^{3}+12 r^{2}-8 \sqrt{2} r+4 \geqslant-4 r^{3}+12 r^{2}-12 r+4\Leftrightarrow f(r)=r^{3}-4(\sqrt{2}-1) r^{2}+12-8 \sqrt{2} \geqslant 0$．
由 $f^{\prime}(r)=3 r^{2}-8(\sqrt{2}-1) r \leqslant 0$，可得 $f(r) \geqslant f(1)=(\sqrt{2}-1)^{4}>0$．
若 $\displaystyle 1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{n} \leqslant 0$，则命题成立．若 $\displaystyle 1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{n} \geqslant 0$，则有
$\displaystyle \left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2} \geqslant\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sin ^{2} x_{i}\right)$
$\displaystyle \left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2} \geqslant\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cos ^{2} x_{i}\right)$
于是 $\displaystyle \left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2}+\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2}\geqslant\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(2-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) \geqslant 2\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{\frac{3}{2}}$
故 $\displaystyle \left[\left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2}+\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2}\right]^{2} \geqslant 4\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{3}$．
证法二
令 $\alpha=(1,1), \alpha_{k}=\left(-a_{k} \sin x_{k},-a_{k} \cos x_{k}\right)$，则 $\displaystyle \left|\alpha+\sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_{k}\right| \geqslant|\alpha|-\sum_{k=1}^{n}\left|\alpha_{k}\right|=\sqrt{2}-\sum_{k=1}^{n} a_{k}$．
若 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}>1$，则命题成立．若 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}=r \leqslant 1$，则 $\displaystyle \left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2}+\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2} \geqslant(\sqrt{2}-r)^{4}$．
于是，只需证明当 $0 \leqslant r \leqslant 1$ 时，$(\sqrt{2}-r)^{4} \geqslant 4(1-r)^{3}$．
上式 $\Leftrightarrow r^{4}-4 \sqrt{2} r^{3}+12 r^{2}-8 \sqrt{2} r+4 \geqslant-4 r^{3}+12 r^{2}-12 r+4\Leftrightarrow f(r)=r^{3}-4(\sqrt{2}-1) r^{2}+12-8 \sqrt{2} \geqslant 0$．
由 $f^{\prime}(r)=3 r^{2}-8(\sqrt{2}-1) r \leqslant 0$，可得 $f(r) \geqslant f(1)=(\sqrt{2}-1)^{4}>0$．
答案
解析
备注
